마플시너지공수1답지 853번 거리² 합 조건 자취 핵심 포인트

853번은 2017년 6월 학력평가 서술형 27번으로, PA²+PB²=k (상수) 형태의 거리 제곱 합 조건을 만족하는 점 P의 자취가 원이 되는 것을 유도하는 문제입니다. 거리의 합(타원)이 아니라 거리의 제곱의 합이라는 점이 핵심입니다.

풀이 핵심: P(x, y), A(a₁, b₁), B(a₂, b₂)로 놓으면 PA² = (x−a₁)²+(y−b₁)², PB² = (x−a₂)²+(y−b₂)²입니다. 이 둘을 더하면 x², y²의 계수가 각각 2로 같아지므로 양변을 2로 나누면 원의 방정식이 됩니다.

정리하면 중심은 두 점 A, B의 중점이 됩니다. 이 성질을 미리 알고 있으면 검산이 빨라집니다. 전개 후 (x−중점x)²+(y−중점y)² 형태로 깔끔하게 떨어지는지 확인하세요. r²이 양수인 경우에만 원이 존재하므로 상수 k의 범위 조건도 챙겨야 합니다.