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서술형 · 약수의 개수 (짝수·5의 배수)
정답 (서술형)
🔑 핵심 단서
소인수분해 720 = 2⁴ × 3² × 5 → 양의 약수의 개수 = (4+1)(2+1)(1+1) = 30
a = 짝수인 약수 2를 적어도 1개 포함하는 약수
b = 5의 배수인 약수 5를 적어도 1개 포함하는 약수
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
약수의 개수에서 “짝수”, “5의 배수” 같은 조건은 여사건(전체 − 조건 불만족)으로 구하면 깔끔합니다.
1단계: 양의 약수의 개수
720 = 2⁴ × 3² × 5¹
약수의 개수: (4+1)(2+1)(1+1) = 30
2단계: 짝수의 개수 a
짝수 = 전체 − 홀수
홀수 약수 = 2⁰만 선택 → 3² × 5¹의 약수 = (2+1)(1+1) = 6
∴ a = 30 − 6 = 24
3단계: 5의 배수의 개수 b
5의 배수 = 전체 − 5를 포함하지 않는 약수
5⁰만 선택 → 2⁴ × 3²의 약수 = (4+1)(2+1) = 15
∴ b = 30 − 15 = 15
4단계: a + b = 24 + 15 = 39
1단계 소인수분해 → 30개
2단계 짝수 = 30−6 = 24
3단계 5배수 = 30−15 = 15
4단계 a+b = 39
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⚠️ 자주 하는 실수
짝수 약수를 직접 세려고 함 — 2¹~2⁴ 각각에 대해 세면 복잡, 여사건(전체−홀수)이 훨씬 빠름
720의 소인수분해 실수 — 720 = 8×90 = 8×9×10 = 2³×3²×2×5 = 2⁴×3²×5 꼼꼼하게!
홀수 약수 셀 때 2의 지수를 0이 아닌 1로 시작 — 2⁰ = 1이므로 반드시 2⁰만 선택
서술형에서 여사건 사용 근거를 안 씀 — “(짝수인 약수) = (전체 약수) − (홀수인 약수)”라고 명시
a + b = 24 + 15 = 39