1447
경우의 수 · 이차방정식 실근 조건
정답 16
🔑 핵심 단서
판별식 x²+ax+b=0이 실근 → D = a²−4b ≥ 0 즉 a² ≥ 4b
범위 a는 {1,2,3,4,5}, b는 {0,1,2,3,4}에서 각각 하나씩 뽑음
전략 b값을 고정하고 a² ≥ 4b를 만족하는 a를 세면 빠짐없이 셀 수 있음
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
이차방정식이 실근을 가지려면 판별식 D ≥ 0이 필수입니다. 이 조건을 a와 b에 대한 부등식 a² ≥ 4b로 바꾸면, 경우의 수 문제로 전환됩니다.
b를 기준으로 경우를 나누는 이유: b가 정해지면 a의 최솟값이 결정되어 체계적으로 빠짐없이 셀 수 있습니다.
b=0 → a² ≥ 0 (모든 a) → 5가지
b=1 → a² ≥ 4, a ≥ 2 → 4가지
b=2 → a² ≥ 8, a ≥ 3 → 3가지
b=3 → a² ≥ 12, a ≥ 4 → 2가지
b=4 → a² ≥ 16, a ≥ 4 → 2가지
합의 법칙: 5+4+3+2+2 = 16
① 실근 조건 → D ≥ 0
② a² ≥ 4b 세우기
③ b별 경우 세기
④ 합의 법칙
📺 해설 강의
📝 해설 이미지
클릭하면 원본 크기로 열립니다
⚠️ 자주 하는 실수
b=0일 때 빼먹음 — 두 번째 주머니에 0이 있으므로 b=0도 반드시 포함
D > 0으로 세움 (등호 누락) — 중근도 실근이므로 D ≥ 0이 맞음
a² ≥ 4b에서 √ 계산 실수 — 4b=8이면 a ≥ 2√2 ≈ 2.83이므로 a ≥ 3
표를 안 만들고 머릿속으로 세다가 중복·누락 발생
5+4+3+2+2 = 16