마플시너지공수1답지 1304번 TOUGH 해 존재 경우분류 핵심 포인트

1304번은 9단원 이차부등식 TOUGH·최다빈출 왕중요 문제로, x에 대한 부등식 kx²−kx+k−2 ≤ 0의 해가 존재하도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하는 문제입니다.

STEP A. k = 0인 경우 만족하는지 확인하기

(ⅰ) k = 0일 때 — “이차부등식”이라는 표현이 없으므로 이차항 계수 k의 값이 0일 수도 있습니다. 0×x²−0×x+0−2 = −2 ≤ 0에서 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립합니다. ∴ k = 0 가능.

STEP B. k ≠ 0인 경우 이차함수와 이차부등식의 관계를 이용하기

(ⅱ) k > 0일 때 — 부등식 kx²−kx+k−2 ≤ 0의 해가 존재하려면 이차방정식 kx²−kx+k−2 = 0의 판별식 D라 하면 D ≥ 0이어야 합니다. D = (−k)²−4×k×(k−2) = k²−4k²+8k = −3k²+8k ≥ 0, 3k²−8k ≤ 0, k(3k−8) ≤ 0이므로 0 ≤ k ≤ 8/3. 즉 k > 0이므로 0 < k ≤ 8/3.

(ⅲ) k < 0일 때 — 이차함수 y = kx²−kx+k−2는 위로 볼록이므로 주어진 부등식의 해는 항상 존재합니다.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 k의 값의 범위는 k ≤ 8/3.

정답: ⑤ k ≤ 8/3