마플시너지공수1답지 1299번 TOUGH 오직 하나 접선 조건 핵심 포인트

1299번은 9단원 이차부등식 TOUGH·최다빈출 왕중요 문제로, 이차부등식 (a+1)x²+2(a+1)x−5 < 0을 만족시키지 않는 x의 값이 오직 b뿐일 때 a+b를 구하는 문제입니다.

STEP A. (a+1)x²+2(a+1)x−5 ≥ 0이 단 한 개의 실근을 가질 조건 구하기

주어진 이차부등식을 만족시키지 않는 x의 값이 오직 한 개이면 이차부등식 (a+1)x²+2(a+1)x−5 ≥ 0의 해가 오직 하나 존재해야 합니다.

이차함수 y = (a+1)x²+2(a+1)x−5의 그래프가 위로 볼록(꼭짓점에서만 x축에 접)이어야 하므로 a+1 < 0, 즉 a < −1 ···㉮

STEP B. 이차방정식의 판별식 D = 0인 경우 구하기

또한 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 D/4 = (a+1)²+5(a+1) = (a+1)(a+1+5) = (a+1)(a+6) = 0

에서 a = −1 또는 a = −6. ㉮에서 a < −1이므로 a = −6 ···㉯

STEP C. b의 값을 구하여 a+b의 값 구하기

이차부등식 (a+1)x²+2(a+1)x−5에 a = −6을 대입하면 −5x²−10x−5 < 0, 양변을 −5로 나누면(부등호 반전) x²+2x+1 > 0, (x+1)² > 0.

이 부등식을 만족시키지 않는 x의 값은 오직 x = −1뿐이므로 b = −1. 따라서 a+b = −6+(−1) = −7.

정답: −7