마플시너지공수1답지 1288번 TOUGH 인수분해 + 항상 성립 핵심 포인트

1288번은 9단원 이차부등식 TOUGH·최다빈출 왕중요 문제로, 모든 실수 x에 대하여 부등식 (m³−1)x²+2(m³−1)x+4(m²+m+1) > 0이 성립하도록 하는 정수 m의 합을 구하는 문제입니다.

STEP A. 주어진 부등식을 간단히 하기

m³−1 = (m−1)(m²+m+1)이고, m에 대한 이차방정식 m²+m+1 = 0의 판별식 D = 1²−4×1 = −3 < 0이므로 임의의 m에 대하여 m²+m+1 > 0을 만족합니다.

부등식의 양변을 m²+m+1로 나누면 (m−1)x²+2(m−1)x+4 > 0이다.

STEP B. m의 값을 구간으로 나누어 m의 값의 범위 구하기

(ⅰ) m = 1일 때 — 0×x²+0×x+4 = 4 > 0이므로 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립합니다.

(ⅱ) m ≠ 1일 때 — 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 이차함수 y = (m−1)x²+2(m−1)x+4의 그래프가 아래로 볼록해야 하므로 m−1 > 0, 즉 m > 1 ···㉮

또, 이차방정식 (m−1)x²+2(m−1)x+4 = 0의 판별식을 D’라 하면 D’/4 = (m−1)²−4(m−1) = (m−1)(m−1−4) = (m−1)(m−5) < 0이므로 1 < m < 5 ···㉯

㉮, ㉯의 공통범위는 1 < m < 5.

(ⅰ), (ⅱ)에서 1 ≤ m < 5. 따라서 정수 m은 1, 2, 3, 4이므로 합은 1+2+3+4 = 10.

정답: 10