마플시너지공수1답지 1197번 TOUGH 무리부등식·절댓값 핵심 포인트

1197번은 8단원 부등식 TOUGH문제로, √(x²+6x+9)=|x+3|을 이용하여 무리부등식을 절댓값 부등식으로 변환하고, x의 값의 범위에 따라 경우를 나누어 해를 구한 후 |2x-b|≤a 형태로 나타내어 a, b 값을 구하는 문제입니다.

STEP A — 법위를 나누는 기준이 되는 x의 값 구하기

√(x²+6x+9) = √((x+3)²) = |x+3|이므로

|x-1|+|x+3| ≤ x+7

절댓값 기호 안이 0이 되는 x의 값은 -3, 1이다.

STEP B — x의 값의 범위에 따른 부등식의 해 구하기

(ⅰ) x<-3일 때,

|x-1| = -(x-1), |x+3| = -(x+3)이므로

-(x-1)-(x+3) ≤ x+7에서 -2x-2 ≤ x+7, -3x ≤ 9

∴ x ≥ -3

그런데 x<-3이므로 해가 없다.

(ⅱ) -3≤x<1일 때,

|x-1| = -(x-1), |x+3| = x+3이므로

-(x-1)+(x+3) ≤ x+7에서 4 ≤ x+7

∴ x ≥ -3

그런데 -3≤x<1이므로 -3 ≤ x < 1

(ⅲ) x≥1일 때,

|x-1| = x-1, |x+3| = x+3이므로

(x-1)+(x+3) ≤ x+7에서 2x+2 ≤ x+7

∴ x ≤ 5

그런데 x≥1이므로 1 ≤ x ≤ 5

(ⅰ)~(ⅲ)에 의해 부등식을 만족하는 x의 값의 범위는

-3 ≤ x ≤ 5 ··· ⓐ

STEP C — 부등식 |2x-b|≤a에서 a, b의 값 구하기

|2x-b| ≤ a에서 -a ≤ 2x-b ≤ a

∴ (-a+b)/2 ≤ x ≤ (a+b)/2 ··· ⓑ

ⓐ, ⓑ이 서로 같으므로 (-a+b)/2 = -3, (a+b)/2 = 5

-a+b = -6, a+b = 10

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=8, b=2

따라서 ab=16.