마플시너지공수1답지 1117번 일등급 삼차방정식 보기 판단 핵심 포인트

1117번은 7단원 고차방정식 일등급문제로, f(x)=x³+x²+3(a−2)x−6a에서 f(2)=0임을 이용하여 인수분해한 뒤 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참·거짓을 판단하는 문제입니다.

먼저 f(2)=8+4+6(a−2)−6a=8+4+6a−12−6a=0이므로 f(x)는 x−2를 인수로 갖습니다. 조립제법으로 f(x)=(x−2)(x²+3x+3a).

① ㄱ. 적어도 하나의 실근을 갖는다 [참] — x=2가 항상 실근이므로 참.

② ㄴ. 오직 하나의 실근 → a>3/4 [참] — 오직 하나의 실근을 갖으려면 x²+3x+3a=0이 허근만 가져야 합니다. 판별식 D=9−12a<0, a>3/4. 또한 x=2가 x²+3x+3a=0의 근이 아님도 확인(4+6+3a≠0, 3a≠−10, a≠−10/3). a>3/4이면 자동 만족. [참]

③ ㄷ. 중근을 갖도록 하는 실수 a는 2개이다 [참] — (ⅰ) x²+3x+3a=0의 근이 x=2일 때: 4+6+3a=0, a=−10/3. (ⅱ) x²+3x+3a=0이 2가 아닌 중근을 가질 때: D=9−12a=0, a=3/4. 따라서 a는 −10/3, 3/4로 2개. [참]

옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄷ → ⑤번.