마플시너지공수1답지 1023번 TOUGH 사차방정식 켤레근 인수분해 핵심 포인트

1023번은 7단원 고차방정식 TOUGH로, 사차방정식 x⁴−4x³+ax²+bx−40=0의 한 근이 1−2i일 때, 실수 a, b에 대하여 나머지 세 근과 a, b의 합을 구하는 문제입니다.

① STEP A · 켤레근으로 이차인수 구하기 — 한 근이 1−2i이면 켤레근 1+2i도 근입니다. 이 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 x²−2x+5=0이므로, 다항식 x²−2x+5는 주어진 사차식의 인수입니다.

② STEP B · 항등식으로 a, b 구하기 — x⁴−4x³+ax²+bx−40=(x²−2x+5)(x²+mx+n)으로 놓으면, 동류항 계수 비교에서 m−2=−4 → m=−2, n−2m+5=a, −2n+5m=b, 5n=−40 → n=−8. 따라서 a=1, b=6.

③ STEP C · 나머지 세 근 구하기 — (x²−2x+5)(x²−2x−8)=0 → (x²−2x+5)(x−4)(x+2)=0. x²−2x+5=0의 근은 1±2i, 나머지 실근은 x=4, x=−2. 나머지 세 근은 1+2i, 4, −2이고, 나머지 세 근과 a, b의 합은 (1+2i)+4+(−2)+1+6=10+2i.

정답: ②번 (10+2i).