마플시너지공수1답지 0929번 행복한 1등급 직각삼각형 거리 제곱 합 핵심 포인트

0929번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제로, ∠B = 90°, AB = 2, BC = 2√3인 직각삼각형 ABC에서 점 P가 빗변 AC 위를 움직일 때 PB² + PC²의 최솟값을 구하는 문제입니다. 기하 조건을 좌표평면으로 옮긴 뒤 거리 공식으로 이차함수를 만들어 최솟값을 찾는 전략이 핵심입니다.

발상 포인트: ① 좌표 설정 — B를 원점, AB를 x축, BC를 y축으로 놓으면 A(−2, 0), B(0, 0), C(0, 2√3)입니다. 직선 AC의 방정식은 y = √3·x + 2√3이므로, P의 좌표를 P(a, √3·a + 2√3) (−2 ≤ a ≤ 0)으로 놓습니다.

② PB² + PC²를 a의 이차식으로 표현 — PB² = a² + (√3·a + 2√3)² = a² + 3a² + 12a + 12 = 4a² + 12a + 12, PC² = a² + (√3·a + 2√3 − 2√3)² = a² + 3a² = 4a²이므로, PB² + PC² = 8a² + 12a + 12 = 8(a + 3/4)² + 15/2입니다.

③ 최솟값 결정 — 꼭짓점 a = −3/4이 구간 [−2, 0]에 포함되므로, 최솟값은 15/2입니다. (④번)