마플시너지공수1답지 0925번 행복한 1등급 잘못 본 계수 역추적 핵심 포인트

0925번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급이자 최다빈출 왕중요 문제로, 이차함수 y = x² + ax + b의 그래프를 그릴 때 철수는 일차항의 계수를 잘못 보고 f(x)를, 영희는 상수항을 잘못 보고 g(x)를 그렸을 때, 올바른 이차방정식 x² + ax + b = 0의 두 근 α, β에 대해 α²β + αβ²를 구하는 문제입니다. “잘못 본 것”과 “바르게 본 것”을 구분해 각 그래프에서 올바른 계수만 추출하는 논리가 핵심입니다.

발상 포인트: ① 철수: 상수항 b를 바르게 봄 — 철수가 그린 f(x)의 두 근이 −3, 8이므로, 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱 = b = (−3) × 8 = −24입니다.

② 영희: 일차항의 계수 a를 바르게 봄 — 영희가 그린 g(x)의 축의 방정식이 x = (−7 + (−3))/2 = −5이므로, 두 근의 합은 −10입니다. 근과 계수의 관계에서 −a = −10, ∴ a = 10입니다.

③ 올바른 방정식과 α²β + αβ² 계산 — x² + 10x − 24 = 0에서 (x + 12)(x − 2) = 0이므로 α = −12, β = 2입니다. α²β + αβ² = αβ(α + β) = (−24) × (−10) = 240입니다. (근과 계수의 관계로 바로 구할 수도 있습니다: αβ = b = −24, α + β = −a = −10)