마플시너지공수1답지 0916번 서술형 조건식 치환 최대·최솟값 핵심 포인트

0916번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 서술형 기출유형으로, x ≥ 0, y ≥ 0이고 x + 2y = 2일 때 10x + 4y²의 최댓값과 최솟값을 3단계로 서술하는 문제입니다. 조건식에서 한 문자를 소거하고, 나머지 문자의 범위를 정한 뒤 이차함수로 변환하는 전형적인 서술형 패턴입니다.

발상 포인트: ① 조건식으로 y의 범위 결정 — x + 2y = 2에서 x = 2 − 2y이고, x ≥ 0이므로 2 − 2y ≥ 0, 즉 y ≤ 1입니다. y ≥ 0과 합치면 0 ≤ y ≤ 1이 됩니다.

② y에 대한 이차식으로 변환 — x = 2 − 2y를 10x + 4y²에 대입하면 10(2 − 2y) + 4y² = 4y² − 20y + 20 = 4(y − 5/2)² − 5입니다. ③ 꼭짓점이 구간 밖임을 판별 — 꼭짓점의 y좌표가 5/2로 구간 [0, 1]에 포함되지 않으므로, 양 끝점에서 최댓값·최솟값이 결정됩니다. y = 0일 때 20(최댓값), y = 1일 때 4(최솟값)입니다.