인수분해
합의 꼴 → 곱의 꼴 — 전개의 역 과정, 수학의 핵심 열쇠
1. 인수분해란?
하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 합니다. 이때 곱을 이루는 각 다항식을 원래 다항식의 인수라 합니다.
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[합의 꼴] [곱의 꼴]
x²+3x+2=x(x+3)+2와 같이 나타내는 것은 인수분해라 하지 않습니다. 우변이 다항식의 곱으로만 표현될 때 인수분해라 합니다.
2. 인수분해의 중요성
인수분해는 전개의 역 과정입니다. 즉 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타내는 것이 전개이고, 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것이 인수분해입니다.
인수분해, 즉 합의 꼴로 주어진 식 A+B+C를 XY와 같이 곱의 꼴로 변형하는 것이 중요한 이유를 알아봅시다.
예를 들어 x²−5x−14=0을 만족시키는 x의 값을 직접 구하는 것은 다소 번거롭습니다. 그러나 x²−5x−14를 인수분해하면 x²−5x−14=(x+2)(x−7)이므로 (x+2)(x−7)=0에서 x+2=0 또는 x−7=0 ∴ x=−2 또는 x=7
이와 같이 이차 이상의 방정식을 풀 때, 인수분해는 중요한 역할을 합니다. 뿐만 아니라 앞으로 배울 이차부등식과 이차함수에서도 인수분해는 문제 해결의 중요한 열쇠가 됩니다. 인수분해는 수학 과정을 모두 마칠 때까지 따라다니므로 이번 기회에 철저히 익혀 두어야 합니다.
인수분해의 가장 기본은 ma+mb−mc=m(a+b−c)와 같이 공통인수 m을 찾아내어 분배법칙을 이용하여 묶는 것입니다.
자주 틀리는 포인트
인수분해의 첫 단계는 항상 공통인수 확인입니다. 2x²−4x에서 공통인수 2x를 먼저 묶어 2x(x−2)로 만드세요!
a²(x−y)+a(y−x)에서 (y−x)=−(x−y)로 바꿔서 공통인수를 만들어야 합니다!
(x−2y)²−2(x−2y)에서 공통인수 (x−2y)를 묶으면 (x−2y)(x−2y−2)입니다. 끝까지 인수분해하세요!
확인 문제
다음 식을 인수분해하시오.
(2) a²(x−y)+a(y−x) = a²(x−y)−a(x−y) = (a²−a)(x−y) = a(a−1)(x−y)
(3) 1−x+y−xy = (1−x)+y(1−x) = (1−x)(1+y)
(4) (x−2y)²−2x+4y = (x−2y)²−2(x−2y) = (x−2y)(x−2y−2)