인수정리
f(a)=0 ⟺ f(x)는 x−a로 나누어떨어진다 — 인수분해의 핵심 열쇠
1. 인수정리
나머지정리에 의하여 다음과 같은 인수정리가 성립합니다.
① f(x)가 일차식 x−a로 나누어떨어지면 f(a)=0이다.
② f(a)=0이면 f(x)는 x−a로 나누어떨어진다.
· f(a)=0
· f(x)를 x−a로 나누었을 때의 나머지가 0이다.
· f(x)가 x−a로 나누어떨어진다.
· f(x)가 x−a를 인수로 갖는다.
· f(x)=(x−a)Q(x)
2. 인수정리 확인
나머지정리에 의하여 다항식 f(x)가 일차식 x−a로 나누어떨어지면 f(a)=0이고, 거꾸로 f(a)=0이면 f(x)는 일차식 x−a로 나누어떨어집니다. 따라서 위와 같은 인수정리를 얻을 수 있습니다.
f(2) = 4−2−2 = 0
이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x−2로 나누어떨어집니다. 즉 f(x)는 x−2를 인수로 갖습니다.
또한 f(−1)=1+1−2=0이므로 x+1도 f(x)의 인수입니다.
따라서 f(x)=(x−2)(x+1)로 인수분해됩니다.
A=BQ (여기서 A, B, Q는 다항식)와 같이 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 하고, 이때 곱을 이루는 각 다항식을 원래 다항식의 인수라 합니다. (→ 개념 020)
자주 틀리는 포인트
나머지정리는 나머지를 구하는 것이고, 인수정리는 나머지가 0인 특수한 경우입니다. 인수정리는 나머지정리의 특별한 경우!
f(a)=0이면 인수는 x−a입니다. x+a가 아닙니다! 부호에 주의하세요.
x−a가 인수라는 것은 f(x)=(x−a)Q(x)로 표현된다는 뜻이고, 이것이 인수분해의 출발점입니다.
확인 문제
다항식 f(x)=x³+4x²−6x+a가 x−1로 나누어떨어지도록 하는 상수 a의 값을 구하시오.
1+4−6+a=0
∴ a=1