Ⅰ. 다항식 > Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해답지나라개념사전
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나머지정리
f(x)를 x−a로 나눈 나머지 = f(a) — 직접 나누지 않고 나머지 구하기
1. 나머지정리
다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구할 때, 직접 나눗셈을 하지 않고 다음 성질을 이용하여 구할 수 있는데, 이 성질을 나머지정리라 합니다.
① x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 x−a로
나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.
② x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 ax+b로
나누었을 때의 나머지는 f(−b/a)이다.
나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.
② x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 ax+b로
나누었을 때의 나머지는 f(−b/a)이다.
💡 참고
f(a)=k이면 f(x)를 x−a로 나누었을 때의 나머지가 k입니다. 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지는 상수이므로 R로 놓을 수 있습니다.
2. 나머지정리 확인
나머지정리를 확인해 봅시다.
📝 ① x−a로 나눈 경우
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 x−a로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R이라 하면
f(x) = (x−a)Q(x)+R
이 등식은 x에 대한 항등식이므로 x=a를 양변에 대입하면
f(a) = (a−a)Q(a)+R = 0·Q(a)+R = R ∴ R=f(a)
따라서 f(x)를 x−a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)입니다.
📝 ② ax+b로 나눈 경우
f(x) = (ax+b)Q(x)+R
이 등식은 x에 대한 항등식이므로 x=−b/a를 양변에 대입하면
f(−b/a) = 0·Q(−b/a)+R = R ∴ R=f(−b/a)
핵심 정리
다항식을 일차식으로 나눈 나머지 → 나머지정리 이용
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자주 틀리는 포인트
실수 ① x−a에서 a의 부호 실수
f(x)를 x+2로 나눈 나머지는 f(−2)입니다. x+2 = x−(−2)이므로 a=−2입니다!
실수 ② ax+b에서 대입값 실수
f(x)를 2x−1로 나눈 나머지는 f(1/2)입니다. ax+b=0을 풀어 x값을 대입하세요!
실수 ③ 이차식으로 나눌 때 나머지정리 적용
나머지정리는 일차식으로 나눌 때만 적용됩니다. 이차식 이상으로 나눌 때는 사용할 수 없습니다!
확인 문제
다항식 2x³−x²+3x−1을 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
(1) x+2
(2) 2x−1
f(x)=2x³−x²+3x−1이라 하면 나머지정리에 의하여 구하는 나머지는
(1) f(−2) = 2(−8)−4+(−6)−1 = −16−4−6−1 = −27
(2) f(1/2) = 2·(1/8)−(1/4)+(3/2)−1 = 1/4−1/4+3/2−1 = 1/2
(1) f(−2) = 2(−8)−4+(−6)−1 = −16−4−6−1 = −27
(2) f(1/2) = 2·(1/8)−(1/4)+(3/2)−1 = 1/4−1/4+3/2−1 = 1/2
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