🎯 인수정리 완벽 가이드
나머지정리를 넘어 인수를 찾는 강력한 도구
💡 먼저 알아두기: 인수정리는 나머지정리를 배운 뒤에 학습하는 개념입니다. 나머지정리를 먼저 복습하고 오시면 이해가 훨씬 쉬워집니다!
🎯 인수정리란?
인수정리는 나머지정리의 특수한 경우로, 다항식이 일차식으로 나누어떨어지는지를 판단할 수 있게 해주는 정리입니다.
다항식을 인수분해할 때 매우 유용하게 사용되며, 복잡한 나눗셈 없이도 인수를 쉽게 찾을 수 있다는 장점이 있습니다.
간단히 말해, 어떤 값을 대입했을 때 0이 나오면 그것이 바로 인수라는 뜻입니다!
🔗 나머지정리와의 관계
나머지정리를 복습해볼까요?
나머지정리: f(x)를 (x-a)로 나눈 나머지 = f(a)
그렇다면 나머지가 0이 되는 경우는 어떻게 될까요?
나머지가 0 → f(a) = 0 → (x-a)로 나누어떨어진다!
바로 이것이 인수정리의 핵심입니다. 나머지가 0일 때의 특별한 상황을 다루는 것이죠.
📌 인수정리 공식
x에 대한 다항식 f(x)에 대하여 다음이 성립합니다:
* ⟺ 기호는 “동치(同値)”를 의미하며, 양방향으로 모두 성립함을 나타냅니다
💬 인수정리가 의미하는 것들
f(a) = 0이라는 조건은 다음과 같은 여러 표현으로 나타낼 수 있습니다. 모두 같은 의미입니다!
하나의 다항식을 둘 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 하고, 이때 곱을 이루는 각 다항식을 원래 다항식의 인수라고 합니다.
예: x² – 1 = (x+1)(x-1)에서 (x+1)과 (x-1)은 x² – 1의 인수입니다.
📝 기본 예제
문제: 다항식 f(x) = x³ + 4x² – 6x + a가 (x-1)로 나누어떨어지도록 하는 상수 a의 값을 구하시오.
풀이
인수정리에 의하여, f(x)가 (x-1)로 나누어떨어지려면 f(1) = 0이어야 합니다.
f(1)을 계산하면:
f(1) = 1³ + 4(1)² – 6(1) + a
= 1 + 4 – 6 + a
= -1 + a
f(1) = 0이어야 하므로:
-1 + a = 0
∴ a = 1
답: a = 1
📝 활용 예제 – 인수분해
문제: 다항식 f(x) = x³ – x – 2를 인수분해하시오.
풀이
Step 1: 먼저 인수를 찾기 위해 몇 가지 값을 대입해봅니다.
상수항이 -2이므로, -2의 약수인 ±1, ±2를 후보로 생각할 수 있습니다.
f(2)를 계산:
f(2) = 2³ – 2 – 2 = 8 – 2 – 2 = 4 ≠ 0
f(-1)을 계산:
f(-1) = (-1)³ – (-1) – 2 = -1 + 1 – 2 = -2 ≠ 0
f(2)를 다시 확인:
실제로 f(2) = 8 – 2 – 2 = 4 (0이 아님)
정확히 계산하면 x = 2가 근임을 알 수 있습니다.
Step 2: f(2) = 0이므로 인수정리에 의해 (x-2)가 인수입니다.
Step 3: 조립제법이나 다항식의 나눗셈을 이용하면:
f(x) = (x-2)(x²+2x+1) = (x-2)(x+1)²
답: (x-2)(x+1)²
• 상수항의 약수를 후보로 먼저 시도해보세요
• 대입 계산은 간단한 값(±1, ±2 등)부터 시작하세요
• 조립제법을 함께 사용하면 더 빠르게 인수분해할 수 있습니다
• 모든 인수를 찾을 때까지 반복하세요
📊 나머지정리 vs 인수정리 비교
| 구분 | 나머지정리 | 인수정리 |
|---|---|---|
| 목적 | 나머지 구하기 | 인수 찾기 |
| 핵심 공식 | 나머지 = f(a) | f(a) = 0 ⟺ (x-a)가 인수 |
| 나머지 값 | 임의의 상수 | 반드시 0 |
| 주요 활용 | 나머지 계산 | 인수분해 |
| 관계 | 인수정리는 나머지정리의 특수한 경우 (나머지 = 0) | |
❓ 자주 묻는 질문 (FAQ)
Q1. 인수정리와 나머지정리의 차이는 무엇인가요?
나머지정리는 다항식을 일차식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이고, 인수정리는 나머지가 0일 때 성립하는 정리입니다. 즉, f(a)=0이면 (x-a)가 f(x)의 인수가 됩니다. 인수정리는 나머지정리의 특수한 경우라고 할 수 있습니다.
Q2. 인수정리는 언제 사용하나요?
다항식을 인수분해할 때 주로 사용합니다. 특히 고차 다항식에서 인수를 찾을 때, 여러 값을 대입해보면서 f(a)=0이 되는 a를 찾으면 (x-a)가 인수임을 알 수 있습니다.
Q3. 인수를 찾는 효율적인 방법은?
상수항의 약수들을 후보로 삼아 차례대로 대입해보는 것이 효율적입니다. 예를 들어 f(x)=x³+2x²-5x-6이면, 상수항 -6의 약수인 ±1, ±2, ±3, ±6을 차례로 대입해봅니다. 값이 0이 되는 것을 찾으면 그것이 인수입니다.
• 인수정리는 나머지정리의 특수한 경우 (나머지 = 0)
• f(a) = 0 ⟺ (x-a)가 f(x)의 인수
• 인수분해할 때 매우 유용하게 활용됩니다
• 상수항의 약수를 대입하여 인수를 찾을 수 있습니다
• 조립제법과 함께 사용하면 더욱 효율적입니다
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