고쟁이 공통수학1 · No. 448
정의역이 제한된 이차함수의
최솟값 문제
강사용 수업 스크립트 — 수학적 원리 + 숫자 예시로 설명
문제 요약
닫힌 구간에서 꼭짓점 형태의 이차함수가 주어지고 최솟값 조건이 있을 때, 매개변수 $a$, $b$에 관한 세 가지 보기(ㄱ, ㄴ, ㄷ)의 참·거짓을 판별하는 문제입니다.
📖 정확한 문제는 고쟁이 공통수학1 448번을 참고하세요.
1
원리 확인 — 아래로 볼록 함수의 성질
자, 먼저 기본 성질부터 확인하고 갑시다.
$f(x) = (x-a)^2 + b$는 이차항의 계수가 1 (양수)이니까 아래로 볼록이에요.
아래로 볼록 함수의 가장 중요한 성질이 뭐였죠?
$f(x) = (x-a)^2 + b$는 이차항의 계수가 1 (양수)이니까 아래로 볼록이에요.
아래로 볼록 함수의 가장 중요한 성질이 뭐였죠?
핵심 원리: 아래로 볼록 함수의 최솟값
$(x-a)^2 \ge 0$이므로 $f(x) = (x-a)^2 + b \ge b$
등호 조건: $x = a$일 때 $(x-a)^2 = 0$ → $f(a) = b$ (최솟값)
즉, 꼭짓점 $x = a$에서 최솟값 $b$를 가진다.
단, 이건 $x$에 제한이 없을 때 이야기!
그런데 이 문제는 $0 \le x \le 2$로 범위가 제한되어 있어요.
$x = a$를 쓰고 싶어도, $a$가 이 범위 밖이면 쓸 수가 없잖아요.
그래서 경우를 나눠야 합니다.
$x = a$를 쓰고 싶어도, $a$가 이 범위 밖이면 쓸 수가 없잖아요.
그래서 경우를 나눠야 합니다.
[칠판] “$f(x) = (x-a)^2 + b$에서 $(x-a)^2 \ge 0$이니까 $x=a$일 때 최소” 를 먼저 쓰고, “$x=a$를 쓸 수 있나?”로 자연스럽게 경우 분류로 넘어가기
2
숫자 예시로 직관 잡기
바로 경우 분류 들어가기 전에, 구체적인 숫자로 먼저 확인해볼게요.
숫자를 넣어보면 왜 경우를 나눠야 하는지 바로 보입니다.
숫자를 넣어보면 왜 경우를 나눠야 하는지 바로 보입니다.
예시 ① : $a = 1$ (구간 안에 꼭짓점이 있는 경우)
$f(x) = (x-1)^2 + b$, 구간 $[0, 2]$
$x = 1$은 구간 안 → $x = 1$을 대입 가능!
$f(1) = 0 + b = b$ → 이게 최솟값
최솟값 = 3이면 $b = 3$
$x = 1$은 구간 안 → $x = 1$을 대입 가능!
$f(1) = 0 + b = b$ → 이게 최솟값
최솟값 = 3이면 $b = 3$
예시 ② : $a = 5$ (꼭짓점이 구간 오른쪽 밖)
$f(x) = (x-5)^2 + b$, 구간 $[0, 2]$
$x = 5$는 구간 밖 → 대입 불가!
그러면 구간 안에서 값을 직접 계산해봅시다:
$f(0) = 25 + b$, $f(1) = 16 + b$, $f(2) = 9 + b$
$(x-5)^2$은 $x$가 5에 가까울수록 작아지니까,
구간 안에서 5에 가장 가까운 $x = 2$가 최솟값!
$f(2) = 9 + b = 3$ → $b = -6$
$x = 5$는 구간 밖 → 대입 불가!
그러면 구간 안에서 값을 직접 계산해봅시다:
$f(0) = 25 + b$, $f(1) = 16 + b$, $f(2) = 9 + b$
$(x-5)^2$은 $x$가 5에 가까울수록 작아지니까,
구간 안에서 5에 가장 가까운 $x = 2$가 최솟값!
$f(2) = 9 + b = 3$ → $b = -6$
예시 ③ : $a = -3$ (꼭짓점이 구간 왼쪽 밖)
$f(x) = (x+3)^2 + b$, 구간 $[0, 2]$
$x = -3$은 구간 밖 → 대입 불가!
$f(0) = 9 + b$, $f(1) = 16 + b$, $f(2) = 25 + b$
$-3$에 가장 가까운 건 $x = 0$ (왼쪽 끝)
$f(0) = 9 + b = 3$ → $b = -6$
$x = -3$은 구간 밖 → 대입 불가!
$f(0) = 9 + b$, $f(1) = 16 + b$, $f(2) = 25 + b$
$-3$에 가장 가까운 건 $x = 0$ (왼쪽 끝)
$f(0) = 9 + b = 3$ → $b = -6$
보이죠? 패턴이 딱 나옵니다.
“$(x-a)^2$은 $x$가 $a$에 가까울수록 작아진다.”
그러니까 구간 안에서 $a$에 제일 가까운 점이 최솟값을 줍니다.
꼭짓점이 안에 있으면 → 꼭짓점 자체
왼쪽 밖이면 → 왼쪽 끝점
오른쪽 밖이면 → 오른쪽 끝점
“$(x-a)^2$은 $x$가 $a$에 가까울수록 작아진다.”
그러니까 구간 안에서 $a$에 제일 가까운 점이 최솟값을 줍니다.
꼭짓점이 안에 있으면 → 꼭짓점 자체
왼쪽 밖이면 → 왼쪽 끝점
오른쪽 밖이면 → 오른쪽 끝점
일반화: $(x-a)^2$이 최소가 되는 $x$의 선택
구간 $[0, 2]$에서 $|x – a|$가 최소인 $x$는:
· $a < 0$ → $x = 0$ (왼쪽 끝이 $a$에 가장 가까움)
· $0 \le a \le 2$ → $x = a$ (꼭짓점 자체를 사용 가능)
· $a > 2$ → $x = 2$ (오른쪽 끝이 $a$에 가장 가까움)
3
경우 분류 — 식으로 정리
[칠판] 수직선에 0과 2를 표시하고, $a$의 위치를 왼쪽·안·오른쪽으로 나눈 뒤 아래 식을 채워 넣기
📝 최솟값 = 3 조건 정리
① $a \le 0$ : $f(0) = a^2 + b = 3$→ $b = -a^2+3$
② $0 \le a \le 2$ : $f(a) = b = 3$
→ 바로 끝!
③ $a > 2$ : $f(2) = (2-a)^2 + b = 3$
→ $b = 3-(2-a)^2 = -a^2+4a-1$
이 세 줄이 이 문제의 전부예요.
이제 보기는 여기에 대입하고 비교만 하면 됩니다.
이제 보기는 여기에 대입하고 비교만 하면 됩니다.
4
그래프로 확인
[칠판] 아래 3개 상황을 간단히 그려주세요. “꼭짓점 위치가 다르면 최솟값 위치도 달라진다”를 눈으로 확인시킵니다.
빨간 점이 각 경우에서의 최솟값 위치
5
보기 판별
ㄱ번. $a = \frac{1}{2}$일 때 $b$가 뭔지 물어보는 거예요.
“$\frac{1}{2}$이 0이랑 2 사이에 있어? — 있지? 그러면 몇 번 경우?”
“②번! 그러면 $b$는 바로?”
“3!”
“$\frac{1}{2}$이 0이랑 2 사이에 있어? — 있지? 그러면 몇 번 경우?”
“②번! 그러면 $b$는 바로?”
“3!”
ㄱ 판별
✓ 참
$a = \frac{1}{2} \in [0, 2]$ → 경우 ② → $b = 3$ ✓
ㄴ번. $a > 2$일 때 $b$의 식을 물어봐요.
“$a > 2$면 몇 번?” — ③번!
“③번 식에서 $b$가 뭐였지?”
“$a > 2$면 몇 번?” — ③번!
“③번 식에서 $b$가 뭐였지?”
ㄴ 판별
✓ 참
$a > 2$ → 경우 ③
$f(2) = (2-a)^2 + b = 3$ $b = 3 – (a^2 – 4a + 4) = -a^2 + 4a – 1$ ✓
$f(2) = (2-a)^2 + b = 3$ $b = 3 – (a^2 – 4a + 4) = -a^2 + 4a – 1$ ✓
[참여 유도] ㄱ, ㄴ은 앞에서 정리한 식에 대입만 하면 끝. 학생들에게 30초 시간 주고 직접 풀게 하세요.
자, ㄷ번이 이 문제의 승부처예요.
“$a+b$의 최댓값을 구하라” — 이건 세 경우를 전부 따져야 합니다.
“$a+b$를 구하려면 $b$에 각 경우의 식을 넣어야겠죠?
그리고 각각의 최댓값을 구해서, 그 중에서 제일 큰 놈을 찾는 겁니다.”
“$a+b$의 최댓값을 구하라” — 이건 세 경우를 전부 따져야 합니다.
“$a+b$를 구하려면 $b$에 각 경우의 식을 넣어야겠죠?
그리고 각각의 최댓값을 구해서, 그 중에서 제일 큰 놈을 찾는 겁니다.”
ㄷ 판별
✗ 거짓
경우 ① : $a \le 0$, $b = -a^2+3$
$a+b = a + (-a^2+3) = -a^2+a+3$$= -\!\left(a-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{13}{4}$
꼭짓점 $a = \frac{1}{2}$인데 범위가 $a \le 0$이므로 → $a = 0$에서 최대
최댓값 = $0 + 3 = 3$
경우 ② : $0 < a \le 2$, $b = 3$
$a+b = a + 3$$a$가 클수록 크니까 → $a = 2$에서 최대
최댓값 = $2 + 3 = 5$
경우 ③ : $a > 2$, $b = -a^2+4a-1$
$a+b = a + (-a^2+4a-1) = -a^2+5a-1$$= -\!\left(a-\frac{5}{2}\right)^2 + \frac{21}{4}$
꼭짓점 $a = \frac{5}{2} = 2.5$는 범위 $a > 2$ 안 ✓
최댓값 = $\frac{21}{4} = 5.25$
| 경우 | $a$ 범위 | $a+b$ 최댓값 |
|---|---|---|
| ① | $a \le 0$ | 3 |
| ② | $0 < a \le 2$ | 5 |
| ③ | $a > 2$ | $\frac{21}{4} = 5.25$ ← 최대 |
전체 최댓값은 $\frac{21}{4}$이지, $\frac{21}{2}$이 아닙니다!
$\frac{21}{4} = 5.25$ vs $\frac{21}{2} = 10.5$ → 분모가 다릅니다
$\frac{21}{4} = 5.25$ vs $\frac{21}{2} = 10.5$ → 분모가 다릅니다
여기서 학생들이 자주 하는 실수 두 가지!
“첫 번째 — 경우 ③만 보고 끝내버리는 것.”
경우 ①, ②, ③의 최댓값을 다 구해서 비교해야 전체 최댓값이 나와요.
“두 번째 — $\frac{21}{4}$을 $\frac{21}{2}$로 읽는 것.”
분모를 꼭 확인하세요. 4와 2는 다릅니다!
“첫 번째 — 경우 ③만 보고 끝내버리는 것.”
경우 ①, ②, ③의 최댓값을 다 구해서 비교해야 전체 최댓값이 나와요.
“두 번째 — $\frac{21}{4}$을 $\frac{21}{2}$로 읽는 것.”
분모를 꼭 확인하세요. 4와 2는 다릅니다!
[강조] 칠판에 $\frac{21}{\boxed{4}}$을 크게 쓰고, 보기의 $\frac{21}{\boxed{2}}$과 나란히 비교. 분모에 빨간색으로 동그라미 치면 기억에 남습니다.
정답
② ㄱ, ㄴ
6
마무리 — 일반 공식으로 정리
오늘 배운 걸 일반적인 구간 $[p,\,q]$로 확장해서 정리해볼게요.
이거 한 번 외워두면 이 유형은 어떤 숫자가 나와도 같은 방법이에요.
이거 한 번 외워두면 이 유형은 어떤 숫자가 나와도 같은 방법이에요.
📌 정리: $f(x) = (x-a)^2 + b$의 $[p,\,q]$에서의 최솟값
• $a < p$ → 최솟값: $f(p) = (p-a)^2 + b$• $p \le a \le q$ → 최솟값: $f(a) = b$
• $a > q$ → 최솟값: $f(q) = (q-a)^2 + b$
원리: $(x-a)^2$은 $x=a$에서 0이고, $a$에서 멀어질수록 커진다.
→ 구간 안에서 $a$에 가장 가까운 $x$가 최솟값을 준다.
마지막으로 한마디.
“ㄷ번처럼 ‘최댓값을 구하라’가 나오면,
경우 나눈 거 전부에서 각각 최대를 구하고,
그걸 다시 비교해야 전체 최대가 나온다.
절대 하나만 보고 끝내지 마세요!”
“ㄷ번처럼 ‘최댓값을 구하라’가 나오면,
경우 나눈 거 전부에서 각각 최대를 구하고,
그걸 다시 비교해야 전체 최대가 나온다.
절대 하나만 보고 끝내지 마세요!”
🎓 수업 운영 타임라인 (약 13분)
- 원리 확인 2분: $(x-a)^2 \ge 0$, 등호 조건, 정의역 제한 문제 제기
- 숫자 예시 3분: $a=1$, $a=5$, $a=-3$으로 직접 계산 → 패턴 발견
- 경우 분류 정리 2분: 수직선 + 3가지 식 칠판 정리
- 그래프 1분: 포물선 3개 간단히 스케치
- 보기 풀이 4분: ㄱ·ㄴ 학생 자율 → ㄷ 함께 풀기 (비교표 활용)
- 마무리 1분: 일반 공식 정리 + 실수 포인트 강조