고난도
정적분으로 정의된 함수의 극값
적분 기호 밖으로 f(x) 꺼내기
출제의도
이 문항은 피적분함수에 x와 t가 섞여 있을 때 올바르게 미분할 수 있는지 확인합니다. t에 대해 적분하는 동안 f(x)는 상수이므로, 먼저 적분 기호 밖으로 꺼낸 다음 미분해야 합니다.
정리하면 g′(x)=f′(x)·∫x1(f(t))2dt라는 두 인수의 곱이 나오는데, 두 인수가 모두 x=1에서 0이 된다는 점 때문에 x=1에서 g′(x)의 부호가 바뀌는지를 정확히 판단하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
피적분함수 (f(x)−f(t))(f(t))2에는 f(x)와 f(t)가 함께 들어 있습니다. 적분 변수는 t이므로, t에 대해 적분하는 동안 f(x)는 어떤 역할을 하는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
괄호를 전개하면 g(x)=f(x)∫x1(f(t))2dt−∫x1(f(t))3dt입니다. 첫째 항은 곱의 미분, 둘째 항은 t 자리에 x를 넣으면 됩니다.
계산하면 (f(x))3 항이 서로 지워져 g′(x)=f′(x)·∫x1(f(t))2dt만 남습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
h(x)=∫x1(f(t))2dt로 놓으면 h′(x)=(f(x))2≥0이므로 h(x)는 증가하고 h(1)=0입니다. f′(x)=3(x−1)(x−3)과 h(x)의 부호를 구간별로 적어 곱의 부호를 조사하세요. 특히 x=1에서 g′(x)의 부호가 실제로 바뀌는지 확인해야 합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af(x)를 적분 기호 밖으로 꺼내기
g(x)=f(x)∫x1(f(t))2dt−∫x1(f(t))3dt로 정리합니다.
STEP B미분해서 g′(x) 단순화하기
g′(x)=f′(x)∫x1(f(t))2dt+f(x)(f(x))2−(f(x))3=f′(x)h(x)입니다. 여기서 h(x)=∫x1(f(t))2dt이고, f′(x)=3(x−1)(x−3)입니다.
STEP C구간별 부호로 극값 판정하기
h(x)는 증가하고 h(1)=0이므로 x<1에서 h(x)<0, x>1에서 h(x)>0입니다. x<1이면 f′(x)>0, h(x)<0이라 g′(x)<0이고, 1<x<3이면 f′(x)<0, h(x)>0이라 g′(x)<0, x>3이면 둘 다 양수라 g′(x)>0입니다. x=1에서는 부호가 −에서 −로 유지되어 극값이 아니고, x=3에서만 −에서 +로 바뀌어 극소입니다.
STEP Df(a) 계산하기
a=3이므로 f(a)=f(3)=27−54+27+2=2, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 인수를 묶어 부호를 한 줄로
h(x)는 증가하고 h(1)=0이므로 h(x)의 부호는 항상 x−1의 부호와 같습니다. 따라서 (x−1)h(x)≥0이고, 등호는 x=1일 때뿐입니다.
g′(x)=3(x−1)(x−3)h(x)=3(x−3)·(x−1)h(x)로 묶어 보면, 뒤의 (x−1)h(x)는 x=1을 제외하면 항상 양수입니다. 그러므로 g′(x)의 부호는 x−3의 부호와 같고, 부호가 바뀌는 곳은 x=3 한 곳뿐입니다. 같은 점에서 같은 방향으로 부호가 바뀌는 두 인수의 곱은 (x−1)2처럼 행동한다는 것, 즉 중근과 같은 효과를 낸다는 것을 기억하면 증감표 없이도 바로 극값 위치를 찾을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 적분 기호 안에 f(x)를 그대로 둔 채 t 자리에 x를 넣어 미분하면 (f(x)−f(x))(f(x))2=0이 되어 g′(x)=0이라는 엉뚱한 결론이 나옵니다. 피적분함수에 x가 있으면 반드시 먼저 밖으로 꺼내세요.
- g′(x)=0의 해 x=1, x=3을 모두 극값으로 판단하는 실수가 가장 흔합니다. x=1에서는 f′(x)와 h(x)가 동시에 0이 되어 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 아닙니다.
- f(x)의 극값 위치와 g(x)의 극값 위치를 혼동하지 마세요. f(x)는 x=1에서 극대이지만 g(x)는 x=1에서 극값을 갖지 않습니다. f(1)=6은 선택지에도 없습니다.
- 구하는 값은 a가 아니라 f(a)입니다. a=3을 보고 ③을 고르지 않도록 마지막에 무엇을 묻는지 다시 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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