빈출 유형
곱의 미분법 거꾸로 보기
부정적분과 적분상수
출제의도
이 문항은 좌변 f(x)+xf′(x)가 곱 xf(x)를 미분한 결과라는 것을 알아볼 수 있는지 확인합니다. 곱의 미분법을 거꾸로 읽으면 xf(x)는 우변 5x4+6x−1의 부정적분이 됩니다.
부정적분을 구한 뒤 x=0을 대입해 적분상수 C를 결정하고, 양변을 x로 묶어 f(x)를 꺼내는 것이 핵심입니다. f(x)를 직접 적분하려고 하면 길이 막히므로, 좌변 전체를 하나의 도함수로 보는 시선이 출발점입니다.
단계별 힌트
좌변 f(x)+xf′(x)를 곱의 미분법 {g(x)h(x)}′=g′(x)h(x)+g(x)h′(x)와 비교해 보세요. 어떤 두 함수의 곱을 미분하면 정확히 이 모양이 나올까요?
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
{xf(x)}′=1·f(x)+x·f′(x)이므로 좌변은 xf(x)의 도함수입니다. 따라서 xf(x)는 5x4+6x−1의 부정적분입니다.
부정적분에는 적분상수 C가 붙습니다. 좌변 xf(x)에 x=0을 넣으면 값이 0이 된다는 점을 이용하면 C를 정할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
xf(x)=x5+3x2−x+C에 x=0을 대입해 C를 구한 뒤, 우변을 x(□)로 묶으면 괄호 안이 f(x)입니다. 마지막으로 구하는 값이 xf(x)가 아니라 f(2)라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 21
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A좌변을 xf(x)의 도함수로 바꾸기
{xf(x)}′=f(x)+xf′(x)이므로 주어진 등식은 {xf(x)}′=5x4+6x−1과 같습니다.
STEP B부정적분을 구하고 적분상수 결정하기
xf(x)=∫(5x4+6x−1)dx=x5+3x2−x+C입니다. 양변에 x=0을 대입하면 0=C이므로 C=0입니다.
STEP Cf(x)를 꺼내고 f(2) 계산하기
xf(x)=x5+3x2−x=x(x4+3x−1)이고 f(x)는 다항함수이므로 f(x)=x4+3x−1입니다. 따라서 f(2)=16+6−1=21이고 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 항별 계수를 (차수+1)로 나누기
f(x)의 한 항 axk에 대해 axk+x·(kaxk−1)=(k+1)axk입니다. 즉 f(x)+xf′(x)를 계산하면 f(x)의 각 항이 제자리에서 (차수+1)배가 될 뿐, 다른 차수로 옮겨가지 않습니다.
그래서 거꾸로 우변의 각 항을 (차수+1)로 나누기만 하면 f(x)가 나옵니다. 5x4은 5로 나누어 x4, 6x는 2로 나누어 3x, 상수 −1은 1로 나누어 −1이므로 f(x)=x4+3x−1입니다. 적분상수를 따지는 과정 없이 한 줄로 끝나며, 결과는 f(2)=21로 같습니다. 이 방법은 f(x)+xf′(x) 꼴에만 쓸 수 있으므로, 좌변 모양을 먼저 확인하는 습관이 필요합니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)와 xf′(x)를 따로따로 적분하려고 하면 xf′(x)의 부정적분을 구할 방법이 없어 막힙니다. 좌변을 하나로 묶어 {xf(x)}′로 보는 것이 이 문항의 출발점입니다.
- 적분상수 C를 빼먹거나 그냥 0이라고 넘기면 안 됩니다. x=0을 대입해 C=0임을 확인해야 xf(x)가 x로 나누어떨어지고 f(x)가 다항함수가 됩니다.
- xf(x)=x5+3x2−x에 x=2를 대입하면 42가 나오는데, 이것은 2f(2)의 값입니다. 반드시 x로 묶어 f(x)를 꺼낸 뒤 대입하세요.
- x5+3x2−x를 x로 묶을 때 마지막 항 −x가 −1로 바뀌는 것을 놓쳐 f(x)의 상수항을 0으로 쓰는 실수가 있습니다. 묶은 결과를 다시 전개해 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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