고난도
방정식의 실근의 개수
도함수를 이용한 그래프 개형
출제의도
이 문항은 분수 꼴 함수가 들어 있는 방정식을 다항방정식으로 바꾼 뒤, 도함수를 이용해 그래프의 개형을 파악하고 실근의 개수를 셀 수 있는지 확인합니다. 사차함수의 도함수가 인수분해되지 않는 삼차식이라서, 도함수를 한 번 더 미분해 부호를 판정하는 과정이 필요합니다.
핵심은 x≠2인 부분에서 생기는 0이 아닌 실근이 몇 개인지 먼저 세고, 부족한 한 개를 x=2에서 정의된 함숫값 p로 채워야 한다는 사실을 알아차리는 것입니다.
단계별 힌트
f(x)는 x≠2일 때와 x=2일 때 식이 다릅니다. 두 경우를 나누어 생각하세요. x≠2일 때는 양변에 (x−2)2을 곱해 분모를 없애면 다항방정식이 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
정리하면 x{x(x−2)3+x−8}=0이 됩니다. 0이 아닌 근만 세므로 g(x)=x(x−2)3+x−8로 놓고 g(x)=0의 실근의 개수를 조사하면 됩니다.
g′(x)=0은 인수분해가 되지 않는 삼차방정식입니다. 근을 직접 구하지 말고, g′(x)를 한 번 더 미분해 g′(x)의 극솟값의 부호를 확인해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
g(x)=0의 실근이 2개뿐이고 그중 2가 없다면, 세 번째 근은 x=2일 수밖에 없습니다. 그러려면 f(2)=p가 우변 2x3−4x2에 x=2를 대입한 값과 같아야 합니다. p를 구한 뒤 f(p+1)은 x≠2인 식에 대입해 계산하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 14
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax≠2일 때 다항방정식으로 바꾸기
2x(8−x)(x−2)2=2x3−4x2=2x2(x−2)의 양변에 (x−2)2을 곱하면 x(8−x)=x2(x−2)3, 즉 x{x(x−2)3+x−8}=0입니다. 0이 아닌 근은 g(x)=x(x−2)3+x−8=x4−6x3+12x2−7x−8에서 나옵니다.
STEP Bg′(x)를 한 번 더 미분해 부호 판정하기
g′(x)=4x3−18x2+24x−7=h(x)로 놓으면 h′(x)=12x2−36x+24=12(x−1)(x−2)입니다. h(x)는 x=2에서 극소이고 극솟값이 h(2)=32−72+48−7=1>0이므로, y=g′(x)의 그래프는 x축과 한 점에서만 만납니다. 따라서 g(x)는 감소하다가 한 번 극소를 지나 증가합니다.
STEP Cx≠2에서 생기는 0이 아닌 실근 세기
g(0)=−8<0이므로 g(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖고, 둘 다 0이 아닙니다. 또 g(2)=−6≠0이므로 두 근 모두 2가 아닙니다. 즉 x≠2인 부분에서 얻는 0이 아닌 서로 다른 실근은 정확히 2개입니다.
STEP D세 번째 근은 x=2 → p 구하기
0이 아닌 서로 다른 실근이 3개가 되려면 x=2가 근이어야 합니다. 2×23−4×22=0이므로 f(2)=p=0입니다.
STEP Ef(p+1) 계산하기
f(p+1)=f(1)=2×1×(8−1)(1−2)2=14이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 증가함수와 감소함수의 교점으로 세기
x≠0, x≠2일 때 x(8−x)=x2(x−2)3의 양변을 x2으로 나누면 8x−1=(x−2)3입니다. 이제 실근의 개수는 곡선 y=8x−1과 y=(x−2)3의 교점의 개수와 같습니다.
y=8x−1은 x<0, x>0 각 구간에서 감소하고, y=(x−2)3은 증가합니다. 감소하는 그래프와 증가하는 그래프는 한 구간에서 많아야 한 번 만납니다. x>0에서는 왼쪽 식이 +∞에서 −1로, 오른쪽 식이 −8에서 +∞로 변하므로 정확히 한 번 만나고, x<0에서는 왼쪽 식이 −1에서 −∞로, 오른쪽 식이 −∞에서 −8로 변하므로 역시 정확히 한 번 만납니다. x=2에서는 왼쪽이 3, 오른쪽이 0이라 교점이 아닙니다.
따라서 x≠2에서 0이 아닌 실근은 2개이고, 나머지 한 개는 x=2여야 하므로 p=0입니다. 사차함수를 두 번 미분하지 않고도 같은 결론에 도달할 수 있어 시간이 크게 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 양변에 (x−2)2을 곱한 식은 x≠2일 때만 원래 방정식과 같습니다. x=2는 반드시 f(2)=p로 따로 확인해야 하며, 이 부분을 놓치면 p를 구할 단서를 잃습니다.
- x=0도 방정식의 근이지만 문제는 “0이 아닌” 실근만 셉니다. x로 묶어 낸 뒤 x=0을 세지 않는 이유를 분명히 하세요.
- g′(x)=0은 인수분해되지 않으므로 근을 직접 구하려 하면 시간만 낭비합니다. g′(x)의 극솟값 h(2)=1이 양수라는 사실만으로 g′(x)=0의 실근이 한 개임을 판정하세요.
- 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 h(x)는 두 극점 중 작은 쪽 x=1에서 극대, 큰 쪽 x=2에서 극소입니다. 극대와 극소를 뒤바꾸면 그래프 개형을 잘못 판단하게 됩니다.
- g(x)가 한 번만 극소를 가진다고 해서 곧바로 근이 2개라고 결론 내리면 안 됩니다. 극솟값이 음수라는 근거로 g(0)=−8<0을 반드시 확인하세요.
- p=0을 구한 뒤 f(p+1)을 f(0)으로 착각하지 않도록 주의하세요. p+1=1이므로 f(1)을 계산해야 하고, 1≠2이므로 분수 꼴 식에 대입합니다.
엄선된 풀이 영상
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