빈출 유형
도함수의 정의
미분계수 계산
출제의도
이 문항은 극한식 limt→xf(t)−f(x)t−x가 도함수 f′(x)의 정의라는 것을 알아볼 수 있는지 확인합니다. 식의 모양만 보고 도함수로 바꿔 읽는 순간 문제가 단순한 대입 계산으로 바뀝니다.
h 대신 t를 사용해 표현한 도함수의 정의를 인식하는 것이 출발점이고, 그 결과 f′(x)=ax(3x−4)라는 식을 얻어 f′(1), f′(2)를 계산하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
t가 x에 가까워질 때 f(t)−f(x)t−x는 x에서 t까지의 평균변화율입니다. 평균변화율의 극한이 무엇을 의미하는지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
주어진 극한은 도함수의 정의이므로 f′(x)=ax(3x−4)입니다. 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 원하는 값을 대입할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f′(1)과 f′(2)를 각각 a로 나타낸 뒤, f′(1)+f′(2)=10에 대입해 a에 대한 일차방정식을 푸세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 103
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A극한식을 도함수로 읽기
limt→xf(t)−f(x)t−x는 f′(x)의 정의이므로, 모든 실수 x에 대하여 f′(x)=ax(3x−4)입니다.
STEP Bf′(1), f′(2) 계산하기
f′(1)=a×1×(3−4)=−a, f′(2)=a×2×(6−4)=4a입니다.
STEP C조건식으로 a 구하기
f′(1)+f′(2)=−a+4a=3a=10이므로 a=103이고, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · t−x=h로 치환해 익숙한 정의로 바꾸기
식이 낯설게 느껴진다면 t−x=h로 치환해 보세요. t→x일 때 h→0이고 t=x+h이므로 주어진 극한은 limh→0f(x+h)−f(x)h가 되어 교과서의 도함수 정의와 완전히 같은 모양이 됩니다.
여기서 중요한 것은 변수의 역할입니다. 극한을 취하는 변수는 t이고 x는 고정된 값이므로, 극한의 결과는 x에 대한 식 f′(x)가 됩니다. 이 구조를 한 번 파악해 두면 limx→af(x)−f(a)x−a=f′(a) 같은 미분계수 정의도 같은 원리로 읽을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 극한 변수가 t라는 점을 놓치고 결과를 f′(t)로 쓰면 안 됩니다. t→x이므로 극한값은 x에 대한 식 f′(x)입니다.
- f′(1)을 계산할 때 3×1−4=−1이므로 f′(1)=−a입니다. 부호를 놓쳐 a로 쓰면 5a=10에서 a=2라는 엉뚱한 값이 나옵니다.
- f′(2)=a×2×(6−4)=4a에서 괄호 안 계산 3×2−4=2를 정확히 처리하세요.
- 구하는 값은 f′(1)+f′(2)가 아니라 상수 a입니다. 3a=10에서 멈추지 말고 a=103까지 확인하세요.