빈출 유형
평균변화율
접선의 기울기와 미분계수
출제의도
이 문항은 평균변화율의 정의와 “곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수”라는 사실을 식으로 옮길 수 있는지 확인합니다. 이차함수를 f(x)=ax2+bx+c로 놓으면 미지수가 3개이므로, 문제에서 조건 3개를 빠짐없이 찾아내는 것이 핵심입니다.
평균변화율 조건 1개, 점 (2, 4)가 곡선 위에 있다는 조건 1개, 접선의 기울기 조건 1개를 각각 방정식으로 세우면 연립방정식 하나로 정리됩니다.
단계별 힌트
x의 값이 p에서 q까지 변할 때의 평균변화율은 f(q)−f(p)q−p이고, 곡선 위의 점 (p, f(p))에서의 접선의 기울기는 미분계수 f′(p)입니다. 이차함수를 f(x)=ax2+bx+c로 놓고, 미지수 a, b, c를 정할 조건이 몇 개인지 세어 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
평균변화율은 f(2)−f(−1)2−(−1)=3입니다. 분자를 a, b, c로 전개하면 c가 소거되어 a, b에 대한 식이 하나 나옵니다.
점 (2, 4)는 곡선 위의 점이므로 f(2)=4이고, 이 점에서의 접선의 기울기가 −3이므로 f′(2)=−3입니다. f′(x)=2ax+b를 이용하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
평균변화율에서 얻은 식과 f′(2)=−3에서 얻은 식은 모두 a, b만 들어 있으므로 두 식을 빼면 a가 먼저 나옵니다. 이어서 b를 구하고, f(2)=4에 대입해 c를 구한 뒤 f(1)=a+b+c를 계산하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평균변화율 조건을 식으로 세우기
f(x)=ax2+bx+c (a≠0)로 놓으면 f(2)−f(−1)2−(−1)=(4a+2b+c)−(a−b+c)3=a+b이므로 a+b=3입니다.
STEP B곡선 위의 점과 접선의 기울기 조건 세우기
점 (2, 4)가 곡선 위에 있으므로 f(2)=4a+2b+c=4이고, f′(x)=2ax+b에서 f′(2)=4a+b=−3입니다.
STEP C연립해서 f(1) 계산하기
(4a+b)−(a+b)=−3−3에서 3a=−6이므로 a=−2, b=5이고, 4a+2b+c=4에서 c=2입니다. 따라서 f(x)=−2x2+5x+2이고 f(1)=−2+5+2=5이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 이차함수의 평균변화율은 중점의 미분계수
이차함수에서는 x의 값이 p에서 q까지 변할 때의 평균변화율이 구간의 중점 p+q2에서의 미분계수와 같습니다. 따라서 조건은 f′12=3, f′(2)=−3으로 바뀝니다. f′(x)는 일차함수이므로 x가 12에서 2까지 32만큼 커질 때 f′(x)의 값은 −6만큼 변하므로 기울기 2a=(−6)÷32=−4, 즉 a=−2이고, f′(x)=−4x+b에서 f′(2)=−3이므로 b=5입니다.
이제 같은 성질을 x=1에서 x=2까지의 구간에 한 번 더 쓰면 f(2)−f(1)=f′32×1=−6+5=−1입니다. f(2)=4이므로 f(1)=4−(−1)=5가 되어, 상수항 c를 구하지 않고도 답이 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 평균변화율의 분모는 2−(−1)=3입니다. 분모를 2−1=1로 쓰거나 분모를 빠뜨리면 a+b=3이 아닌 엉뚱한 식이 나옵니다.
- 평균변화율(두 점을 이은 직선의 기울기)과 미분계수(한 점에서의 접선의 기울기)를 혼동하지 마세요. “평균변화율이 3″은 f′(x)=3이라는 뜻이 아닙니다.
- 점 (2, 4)가 곡선 위의 점이라는 조건 f(2)=4를 놓치면 미지수 c를 정할 수 없습니다. 좌표가 주어지면 “함숫값 조건”도 함께 챙기세요.
- f(1)=a+b+c이고 a+b=3을 이미 알고 있으므로 f(1)=3+c로 계산하면 검산이 빨라집니다. c=2이면 f(1)=5로 결과가 일치합니다.