기초 필수
등비수열의 일반항
공비 구하기
출제의도
이 문항은 등비수열에서 주어진 두 개의 조건을 첫째항 a와 공비 r에 대한 연립방정식으로 바꿀 수 있는지를 확인합니다. a1+a3=2(a3+a5)=12라는 표현을 두 개의 식으로 끊어 읽는 것이 첫 번째 관문입니다.
또한 ‘모든 항이 양수’라는 조건이 왜 필요한지도 함께 묻고 있습니다. 계산 과정에서 r2의 값만 나오기 때문에, 이 조건이 없으면 r의 부호를 결정할 수 없습니다. 조건 한 줄이 답을 하나로 확정해 주는 구조를 경험해 두면 뒤에 나오는 등비수열 문항에서 헤매지 않습니다.
단계별 힌트
등비수열은 첫째항 a와 공비 r 두 개만 알면 모든 항이 결정됩니다. 일반항은 an=arn−1이므로, a1=a, a3=ar2, a5=ar4로 바꿔 쓰는 것부터 시작하세요.
그리고 a1+a3=2(a3+a5)=12는 한 줄처럼 보이지만 실제로는 a1+a3=12와 2(a3+a5)=12, 즉 a3+a5=6이라는 두 개의 식입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
두 식을 a와 r로 쓰면 a+ar2=12, ar2+ar4=6이 됩니다. 두 번째 식의 좌변을 자세히 보면 ar2+ar4=r2(a+ar2)로 묶을 수 있습니다.
즉 아래 식은 위 식에 r2을 곱한 것과 같습니다. 두 식을 나누면 a가 통째로 사라지고 r2만 남습니다. 이렇게 공통인수를 찾아 묶는 것이 등비수열 계산의 핵심 동작입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
r2의 값을 구했다면, 모든 항이 양수라는 조건에서 r>0이므로 r의 값을 하나로 정할 수 있습니다. 그 r을 첫 번째 식 a(1+r2)=12에 대입하면 a가 나옵니다.
마지막으로 a6=ar5에 넣어 정리하세요. r이 무리수이므로 r5을 계산할 때는 r2=12을 이용해 r5=(r2)2×r로 쪼개면 훨씬 간단합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① √2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 두 개의 식으로 나누어 쓰기
첫째항을 a, 공비를 r라 하면 모든 항이 양수이므로 a>0, r>0입니다. a1+a3=12에서 a+ar2=12 … ㉠, a3+a5=6에서 ar2+ar4=6 … ㉡을 얻습니다.
STEP B두 식을 연립해 공비 구하기
㉡의 좌변은 r2(a+ar2)이므로 ㉠을 대입하면 12r2=6, 즉 r2=12입니다. r>0이므로 r=√22입니다.
STEP C첫째항을 구하고 a6까지 계산하기
㉠에 r2=12을 넣으면 32a=12이므로 a=8입니다. 따라서 a6=8×√225이고, √225=√28이므로 a6=√2, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 항을 통째로 묶어 공비 찾기
등비수열에서는 a3=a1r2, a5=a3r2이므로 a3+a5=r2(a1+a3)이 바로 성립합니다. 첫째항을 문자로 두지 않아도 두 항의 합끼리 비교하는 것만으로 r2=612=12이 한 줄에 나옵니다.
같은 아이디어로 a6=a1r5을 구할 때도 a1(1+r2)=12에서 a1=8을 얻은 뒤 r5=(r2)2·r=14·√22로 계산하면 무리수 거듭제곱을 직접 다섯 번 곱하지 않아도 됩니다. 등비수열 문항은 ‘항 사이의 비’를 먼저 보는 습관이 계산량을 절반으로 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- A=B=C 꼴의 조건은 반드시 두 개의 식으로 끊어 적으세요. 2(a3+a5)=12이므로 a3+a5=6입니다. 2를 빠뜨리고 12로 두면 r2=1이 되어 답이 완전히 달라집니다.
- r2=12에서 r=±√22이지만, 모든 항이 양수라는 조건이 음수 공비를 걸러 줍니다. 등비수열 문항은 부호 조건을 먼저 확인하는 습관을 들이세요.
- a6은 여섯 번째 항이므로 지수는 5입니다. ar6으로 쓰는 항 번호 실수가 가장 흔합니다.
- 선택지에 2, 2√2, 4가 함께 있는 것은 r5을 계산하다 지수를 하나 틀린 학생을 걸러내기 위한 것입니다. 마지막 유리화까지 정확히 마무리하세요.