변별 포인트
합성함수와 지수법칙
짝수·홀수 경우 나누기
출제의도
이 문항은 함수 f(x)=x1/n을 두 번 합성한 값을 지수법칙 (ap)q=apq로 정리할 수 있는지, 그리고 유리수 지수의 거듭제곱이 자연수가 되는 조건을 따질 수 있는지를 함께 묻습니다. 계산 자체는 짧지만 ‘언제 자연수가 되는가’를 판단하는 과정에서 차이가 납니다.
특히 지수 2/n2은 n이 짝수이면 분자 2와 약분되고, 홀수이면 약분되지 않습니다. 이 차이 때문에 필요한 m의 크기가 크게 달라지므로, n의 짝수·홀수로 경우를 나누어 비교하는 사고가 이 문항의 핵심입니다.
단계별 힌트
f는 입력한 수를 1/n제곱하는 함수입니다. f(f(m2))는 m2에 이 동작을 두 번 하는 것이므로, 안쪽부터 차례로 계산해 m의 거듭제곱 하나로 정리해 보세요.
정의역이 x>0이라는 조건은 m2과 그 결과가 모두 양수이므로 유리수 지수를 마음 놓고 쓸 수 있다는 뜻입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱합니다. (m2/n)1/n의 지수는 2/n+1/n이 아니라 2/n×1/n입니다. 이렇게 정리한 지수를 기약분수로 만들었을 때, m이 ‘분모만큼의 거듭제곱’이어야 전체가 자연수가 됩니다.
예를 들어 m1/2이 자연수이려면 m은 제곱수, m1/8이 자연수이려면 m은 어떤 자연수의 8제곱이어야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
n=2와 n=3을 각각 넣어 지수가 어떻게 약분되는지 비교해 보세요. 두 경우에서 조건을 만족하는 가장 작은 m을 찾아 m+n을 계산하면, 어느 쪽이 최소인지 바로 드러납니다. m은 2 이상이라는 조건도 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A합성함수를 m의 거듭제곱 하나로 정리하기
f(m2)=(m2)1/n=m2/n이고, 한 번 더 f를 적용하면 (m2/n)1/n=m2/n2입니다. 이제 m2/n2이 자연수가 되는 조건만 따지면 됩니다.
STEP Bn이 짝수일 때와 홀수일 때로 나누기
n=2k(k는 자연수)이면 2/n2=1/(2k2)로 약분되므로 m은 어떤 자연수의 2k2제곱이어야 합니다. 가장 작은 경우는 k=1, 즉 n=2, m=22=4이고 이때 m+n=6입니다.
n=2k+1이면 2/n2은 약분되지 않으므로 m은 어떤 자연수의 n2제곱이어야 합니다. 가장 작은 경우는 n=3, m=29=512이고 이때 m+n=515입니다.
STEP C두 경우의 최솟값 비교하기
6과 515 중 작은 값은 6이므로 m+n의 최솟값은 6이고 정답은 ①입니다. 실제로 m=4, n=2이면 f(f(16))=161/4=2로 자연수가 됩니다.
1등급 다른 풀이 · m+n이 작은 순서대로 직접 확인하기
m, n이 모두 2 이상이므로 m+n은 4 이상입니다. 최솟값을 묻는 문항은 작은 값부터 가능한지 확인하는 것이 가장 확실합니다. m+n=4이면 (m, n)=(2, 2)이고 21/2=√2는 자연수가 아닙니다. m+n=5이면 (3, 2)는 31/2=√3, (2, 3)은 22/9이므로 모두 자연수가 아닙니다.
m+n=6에서 (4, 2)를 넣으면 42/4=41/2=2로 자연수가 되므로 최솟값은 6입니다. 경우를 일반적으로 나누는 풀이가 원리를 보여 준다면, 이 방법은 최솟값 문항에서 답을 빠르게 확정하는 실전 전략입니다. 두 방법을 모두 익혀 두면 검산에도 활용할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 합성함수를 계산할 때 지수는 곱해야 합니다. (m2/n)1/n을 m3/n처럼 더해 버리면 조건 자체가 달라집니다.
- 지수 2/n2은 반드시 기약분수로 만든 뒤 판단하세요. n이 짝수일 때 분자의 2와 약분된다는 점을 놓치면 필요한 m을 지나치게 크게 잡게 됩니다.
- m=1이면 어떤 n에 대해서도 1이 되어 자연수이지만, 문제에서 m은 2 이상입니다. 조건의 범위를 먼저 표시해 두세요.
- n이 클수록 필요한 m이 급격히 커지므로, 최솟값은 가장 작은 n 근처에서 나올 가능성이 높습니다. 그래도 짝수·홀수 두 경우를 모두 확인한 뒤 결론을 내리세요.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 2 4번”에 대한 1개의 생각