쎈 공통수학1 637번 📐 이차함수 활용 | 직사각형 둘레의 최댓값
유형문제난이도 ★★★☆☆5단원 | 이차함수의 최대·최소 활용
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 y축 대칭 이용 → B(a,0)으로만 설정하면 충분한 이유
- 📐 AB=2a, BC=-a²+3으로 둘레 설정 → 완전제곱식 변환
- 💡 둘레 = -2(a-1)²+8 → a=1에서 최댓값 8
- ⚠️ a의 유효 범위 0<a<√3 설정 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! y=-x²+3은 y축 대칭이므로 직사각형도 y축 대칭으로 설정하면 됩니다.
어느 단계에서 막히더라도 힌트를 조금씩 읽으며 스스로 도전해보세요!
📐🎯
이차함수 위 직사각형 좌표 설정의 핵심:
y축 대칭 → B(a, 0) 설정 시 A(-a, 0), C(a, -a²+3), D(-a, -a²+3)
가로 AB = 2a, 세로 BC = -a²+3
이차함수 위 직사각형 좌표 설정의 핵심:
y축 대칭 → B(a, 0) 설정 시 A(-a, 0), C(a, -a²+3), D(-a, -a²+3)
가로 AB = 2a, 세로 BC = -a²+3
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
직사각형 ABCD에서 A, B는 x축 위, C, D는 \(y=-x^2+3\) 위(C는 제1사분면). 둘레의 최댓값을 구합니다.
D(−a, −a²+3) ────── C(a, −a²+3) ← 이차함수 위
│ │ BC = −a²+3
A(−a, 0) ─────────── B(a, 0) ← x축 위
AB = 2a →
│ │ BC = −a²+3
A(−a, 0) ─────────── B(a, 0) ← x축 위
AB = 2a →
🗝️ 유효 범위 0 < a < √3 (∵ BC = -a²+3 > 0이려면 a² < 3)
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. 둘레 = 2(AB + BC) = 2(2a + (-a²+3)) = -2a²+4a+6
힌트 2. \(-2a^2+4a+6=-2(a-1)^2+8\). 위로 볼록, 꼭짓점 a=1 ∈ (0, √3)?
힌트 3. 1 < √3 ✓ → a=1에서 최댓값 = 8
🧠 핵심 풀이
1 B(a, 0), 0<a<√3로 설정
AB=2a, BC=-a²+3
AB=2a, BC=-a²+3
2 둘레 이차함수 변환
둘레 = \(-2a^2+4a+6=-2(a-1)^2+8\)
둘레 = \(-2a^2+4a+6=-2(a-1)^2+8\)
3 최댓값
a=1 ∈ (0, √3) → 최댓값 = \(\boxed{8} \quad 🎯\)
a=1 ∈ (0, √3) → 최댓값 = \(\boxed{8} \quad 🎯\)
📐→📊→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 대칭 미활용 → AB를 a로 설정 (y축 대칭이면 AB=2a!)
❌ 실수 2: a 범위를 0<a<3으로 설정 → BC=-a²+3>0이므로 a<√3
❌ 실수 3: 답을 a=1로 제시 → 구하는 것은 둘레의 최댓값 = 8
📌 외워두면 득점하는 패턴
이차함수 그래프 위 직사각형 패턴
- y축 대칭 이차함수 → 직사각형도 y축 대칭 → B(a, 0)만 설정, 가로=2a
- 세로 = 이차함수값, 유효범위 확인(세로>0)
- 둘레/넓이 → 이차함수로 변환 → 완전제곱 → 최대·최소
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분 30초
📝 수능 시험: 목표 1분 30초
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 이차함수 위 직사각형 둘레·넓이 최대 심화 마플시너지 공수1 | 이차함수 최대·최소 활용 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 37번 → 이차함수 최댓값·최솟값 기초
- 638·639번 포스트 → 활용 다양한 맥락 비교 학습
- 마플시너지 → 이차함수 위 도형 최대·최소 심화