쎈 공통수학1 636번 📐 선분 위의 점 → 직선 대입 + 제한 범위 최댓값
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 선분 AB 직선 방정식 y=-2x+3 유도 → 대입 → 최댓값 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 선분 AB의 기울기 계산 → 직선 방정식 → x 범위 1≤x≤4 동시 설정
- 💡 위로 볼록 함수 -2(x-3)²+9에서 꼭짓점 x=3이 범위 안 → 최댓값=9
- ⚠️ 선분과 직선의 차이 → x 범위 설정 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심: “선분 위의 점” → 직선 방정식 + x 범위 두 가지 동시 설정!
직선 방정식으로 y를 소거하고, x 범위를 반드시 함께 적용합니다. 📱 충전기 연결 후 도전!
📏🔢
“선분 위의 점” 2단계 조건:
① 직선 AB의 방정식 y=f(x) 도출
② x 범위: A의 x ≤ x ≤ B의 x (또는 역순)
“선분 위의 점” 2단계 조건:
① 직선 AB의 방정식 y=f(x) 도출
② x 범위: A의 x ≤ x ≤ B의 x (또는 역순)
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
점 P(x, y)가 두 점 A(1, 1), B(4, -5)를 이은 선분 AB 위를 움직일 때, \(2x^2-y^2\)의 최댓값을 구합니다.
🗝️ 선분 조건 2가지
① 직선 AB: 기울기 = \(\dfrac{-5-1}{4-1}=-2\), 방정식 \(y=-2x+3\)
② x 범위: \(1 \leq x \leq 4\)
① 직선 AB: 기울기 = \(\dfrac{-5-1}{4-1}=-2\), 방정식 \(y=-2x+3\)
② x 범위: \(1 \leq x \leq 4\)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. 직선 AB 방정식: y=-2x+3. 이것을 2x²-y²에 대입해보세요!
힌트 2. \(2x^2-(-2x+3)^2=2x^2-(4x^2-12x+9)=-2x^2+12x-9\)
힌트 3. \(-2(x-3)^2+9\). 위로 볼록, 꼭짓점 x=3이 1≤x≤4 범위 안 → 최댓값은?
🧠 핵심 풀이
1 선분 AB의 직선 방정식과 x 범위
기울기 = \(\dfrac{-5-1}{4-1}=-2\)
직선: \(y-1=-2(x-1)\) → \(y=-2x+3\)
x 범위: \(1 \leq x \leq 4\)
기울기 = \(\dfrac{-5-1}{4-1}=-2\)
직선: \(y-1=-2(x-1)\) → \(y=-2x+3\)
x 범위: \(1 \leq x \leq 4\)
2 y=-2x+3 대입 및 완전제곱식 변환
\(2x^2-(-2x+3)^2=2x^2-4x^2+12x-9=-2x^2+12x-9\)
\(=-2(x^2-6x)-9=-2(x-3)^2+18-9=-2(x-3)^2+9\)
\(2x^2-(-2x+3)^2=2x^2-4x^2+12x-9=-2x^2+12x-9\)
\(=-2(x^2-6x)-9=-2(x-3)^2+18-9=-2(x-3)^2+9\)
3 1≤x≤4에서 최댓값
위로 볼록, 꼭짓점 x=3 ∈ [1,4] ✓ → x=3에서 최댓값
최댓값 = \(\boxed{9} \quad 🎯\)
위로 볼록, 꼭짓점 x=3 ∈ [1,4] ✓ → x=3에서 최댓값
| x | -2(x-3)²+9 |
|---|---|
| x=3 | \(-2(0)+9=\mathbf{9}\) → 최댓값 |
| x=1 | \(-2(4)+9=1\) |
| x=4 | \(-2(1)+9=7\) |
📏→📐→🎯
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: “선분” 위의 점임을 간과하고 x 범위 없이 모든 x에서 최댓값 탐색
→ 반드시 1≤x≤4 범위 설정 필수!
❌ 실수 2: \((-2x+3)^2\) 전개에서 \((-2x)^2=4x^2\)이지만 중항 \(2\times(-2x)\times 3=-12x\)를 잘못 처리
❌ 실수 3: 기울기 계산에서 분자·분모 혼동: (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (-5-1)/(4-1) = -6/3 = -2
📌 외워두면 득점하는 패턴
“선분 위의 점” 조건 처리 패턴
- 선분 AB → 직선 방정식 + x 범위 동시 설정
- 기울기 = (y₂-y₁)/(x₂-x₁), 점 하나 대입해 y절편 결정
- y 소거 후 일변수 이차함수 → 범위 내 최대·최소
- 위로 볼록: 꼭짓점에서 최댓값 (범위 안일 때)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ 직선 방정식 → x 범위 → 대입 → 완전제곱 → 최댓값
📝 수능 시험: 목표 2분
→ 기울기·절편 암산 + 대입 전개 빠르게 처리!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 선분·직선 위의 점 조건 최대·최소 심화 마플시너지 공수1 | 조건부 최대·최소 종합 마무리
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 56번 → 선분·직선 위의 점 기초
- 633번 포스트 → 이차함수 위의 점 조건과 비교 학습
- 마플시너지 → 선분 위의 점 심화 + 제한 범위 종합