쎈 공통수학1 633번 📐 이차함수 위의 점 조건 대입으로 최댓값 구하기
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 b=a²-4a+3 대입 → (a+4)²-20 변환 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 P(a,b)가 이차함수 위의 점 → b=a²-4a+3을 목적식에 대입
- 📊 a=-6, a=0, a=-4 세 점 함수값 비교표
- ⚠️ 최댓값 위치를 꼭짓점이 아닌 끝점에서 찾아야 하는 이유 분석
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심: 점 P(a,b)가 이차함수 y=x²-4x+3 위에 있으면 → b=a²-4a+3
이것을 목적식에 대입하면 됩니다! 📱 충전기 연결 후 도전!
📍🔢
“이차함수 위의 점” 조건 처리:
P(a,b)가 y=f(x) 위 → b=f(a)
목적식에 b=f(a) 대입 → a만의 식으로 변환
“이차함수 위의 점” 조건 처리:
P(a,b)가 y=f(x) 위 → b=f(a)
목적식에 b=f(a) 대입 → a만의 식으로 변환
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(-6 \leq x \leq 0\)에서 이차함수 \(y=x^2-4x+3\)의 그래프 위를 움직이는 점 \(P(a,b)\)에 대해 \(3a^2-2b+2\)의 최댓값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- P(a,b)가 이차함수 위의 점 → \(b=a^2-4a+3\)
- x의 범위 -6≤x≤0 → -6≤a≤0
- 목적식에 b 대입 → a의 이차함수로 변환
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. b=a²-4a+3을 대입: \(3a^2-2(a^2-4a+3)+2\)
힌트 2. 정리: \(a^2+8a-4=(a+4)^2-20\). 꼭짓점 a=-4가 범위 [-6,0] 안에 있나요?
힌트 3. -4는 [-6,0] 범위 안! → a=-6, a=-4, a=0 세 곳의 값 비교
🧠 핵심 풀이
1 b=a²-4a+3 대입 및 정리
\(3a^2-2(a^2-4a+3)+2=3a^2-2a^2+8a-6+2=a^2+8a-4\)
\(=(a+4)^2-20\)
\(3a^2-2(a^2-4a+3)+2=3a^2-2a^2+8a-6+2=a^2+8a-4\)
\(=(a+4)^2-20\)
2 -6≤a≤0에서 최댓값 탐색
꼭짓점 a=-4: 범위 안 ✓ → 최솟값 -20 (아래로 볼록)
최댓값 = \(\boxed{-4} \quad 🎯\) (a=0에서)
꼭짓점 a=-4: 범위 안 ✓ → 최솟값 -20 (아래로 볼록)
| a | (a+4)²-20 | 비고 |
|---|---|---|
| a=-6 | \((-2)^2-20=4-20=-16\) | |
| a=0 | \((4)^2-20=16-20=\mathbf{-4}\) | 최댓값 |
| a=-4 | \(0-20=-20\) | 최솟값 |
📍→📊→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: b=a²-4a+3 대입 후 전개에서 -2×(-4a)=+8a를 +4a 또는 -8a로 실수
❌ 실수 2: 꼭짓점 a=-4가 범위 안에 있으므로 최댓값·최솟값 모두 끝점과 꼭짓점 세 곳을 비교해야 함!
❌ 실수 3: 아래로 볼록 → 끝점 중 큰 값이 최댓값 → a=0 vs a=-6 비교: -4 > -16이므로 a=0이 최댓값
📌 외워두면 득점하는 패턴
“이차함수 위의 점” 조건 처리 패턴
- P(a,b)가 y=f(x) 위 → b=f(a) 대입
- x 범위 → a 범위로 자동 설정
- 꼭짓점이 범위 안: 꼭짓점+양 끝점 3곳 비교
- 아래로 볼록이면 꼭짓점=최솟값, 끝점 중 큰 값=최댓값
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ b 대입 → 전개 → 완전제곱 → 3점 비교
📝 수능 시험: 목표 2분
→ b 대입 즉시 처리, 3점 함수값 암산 비교
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 이차함수 위의 점 조건 최대·최소 심화 마플시너지 공수1 | 조건+제한 범위 최대·최소 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 631번 포스트 → 조건 대입 기초
- 개념 포스트 (이차함수 위의 점 조건) → 유형 이해
- 마플시너지 → 이차함수 위의 점 심화 유형