쎈 공통수학1 627번 📐 이변수 완전제곱식으로 최솟값 구하기
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 x, y를 각각 완전제곱식으로 변환하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 계수 2가 있는 \(2x^2-4x\)의 완전제곱식 변환 완전 분석
- 💡 \((x-1)^2 \geq 0\), \((y+3)^2 \geq 0\) → 동시에 0이 될 때 최솟값!
- ⚠️ 계수 2를 처리하다 상수 조정에서 실수하는 사례
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! x와 y를 각각 따로 완전제곱식으로 변환하면 이 문제는 30초 안에 풀립니다!
🔢⊕🔢
이변수 최솟값 황금 공식:
A²≥0, B²≥0이므로 A²+B²+C의 최솟값=C
(A=B=0이 동시에 가능할 때!)
이변수 최솟값 황금 공식:
A²≥0, B²≥0이므로 A²+B²+C의 최솟값=C
(A=B=0이 동시에 가능할 때!)
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
실수 x, y에 대하여 \(2x^2-4x+y^2+6y+16\)의 최솟값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- x항과 y항을 각각 완전제곱식으로 분리 → \(2(x-1)^2\)과 \((y+3)^2\)
- 두 항 모두 ≥0이므로 동시에 0이 될 때 최솟값 발생
🗝️ 핵심: 계수 2가 있는 완전제곱식 처리
\(2x^2-4x = 2(x^2-2x) = 2\{(x-1)^2-1\} = 2(x-1)^2-2\)
※ 괄호 안에서 -1을 보정했으므로 바깥의 2와 곱해서 -2가 상수항!
\(2x^2-4x = 2(x^2-2x) = 2\{(x-1)^2-1\} = 2(x-1)^2-2\)
※ 괄호 안에서 -1을 보정했으므로 바깥의 2와 곱해서 -2가 상수항!
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(2x^2-4x = 2(x^2-2x) = 2(x-1)^2-?\) → 상수 조정이 얼마인지 계산해보세요!
힌트 2. \(y^2+6y=(y+3)^2-?\) → 상수 조정 계산
힌트 3. 전체를 정리하면 \(2(x-1)^2+(y+3)^2+?\) 형태. x=1, y=-3일 때 최솟값!
🧠 핵심 풀이
1 x 부분 완전제곱식 변환
\(2x^2-4x=2(x^2-2x)=2\{(x-1)^2-1\}=2(x-1)^2-2\)
\(2x^2-4x=2(x^2-2x)=2\{(x-1)^2-1\}=2(x-1)^2-2\)
2 y 부분 완전제곱식 변환
\(y^2+6y=(y+3)^2-9\)
\(y^2+6y=(y+3)^2-9\)
3 전체 결합 및 최솟값
\(2(x-1)^2-2+(y+3)^2-9+16\)
\(=2(x-1)^2+(y+3)^2+5\)
\(2(x-1)^2 \geq 0\), \((y+3)^2 \geq 0\)이므로
x=1, y=-3일 때 최솟값 = \(\boxed{5} \quad 🎯\)
\(2(x-1)^2-2+(y+3)^2-9+16\)
\(=2(x-1)^2+(y+3)^2+5\)
\(2(x-1)^2 \geq 0\), \((y+3)^2 \geq 0\)이므로
x=1, y=-3일 때 최솟값 = \(\boxed{5} \quad 🎯\)
🔵 x 최솟값 조건
x=1일 때
\(2(1-1)^2=0\)
x=1일 때
\(2(1-1)^2=0\)
🟢 y 최솟값 조건
y=-3일 때
\((-3+3)^2=0\)
y=-3일 때
\((-3+3)^2=0\)
🔢→⊕→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 실수: \(2x^2-4x=2(x-1)^2-1\)로 계산 → 상수 보정을 ×2 않고 그대로 두는 실수!
→ \(2(x^2-2x)=2\{(x-1)^2-1\}=2(x-1)^2\mathbf{-2}\) (반드시 -2!)
❌ 실수 2: \(y^2+6y=(y+3)^2-6\)으로 계산 → 3²=9이므로 \((y+3)^2-9\)
❌ 실수 3: 두 항이 독립적으로 0이 될 수 있는지 확인하지 않기 → x=1, y=-3 동시 대입 가능 ✓
📌 외워두면 득점하는 패턴
이변수 완전제곱식 최솟값 패턴
- \(ax^2+bx+cy^2+dy+e\)를 각각 완전제곱식으로 변환
- 변환 결과: \(a(x-p)^2+c(y-q)^2+r\)
- a>0, c>0이면 최솟값=r (x=p, y=q에서 동시 달성)
- 계수 a가 있을 때: \(a(x^2+\frac{b}{a}x)=a\{(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\}=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}\)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 1분 30초
→ x 완전제곱 → y 완전제곱 → 상수 합산 → 답
📝 수능 시험: 목표 45초
→ 연습을 통해 계수 처리를 암산으로! 상수만 빠르게 계산
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 이변수 완전제곱식 최대·최소 심화 마플시너지 공수1 | 계수가 있는 완전제곱식 변환 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 17번 → 완전제곱식 변환 기초 반복
- 개념 포스트 (이변수 함수 최대·최소) → 이변수 원리 이해
- 마플시너지 → 이변수 완전제곱식 심화