쎈 공통수학1 626번 📐 절댓값 포함 함수의 최솟값 분석 후 치환
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
- 🎬 절댓값 경우 분류 → f(x)≥-1 확인 → t 치환 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 x<0과 x≥0으로 나눠 f(x)의 최솟값이 -1인 핵심 이유
- 💡 f(x)의 최솟값이 -5/4가 아닌 -1인 이유 (절댓값의 함정!)
- ⚠️ f(x)의 정확한 최솟값을 확인하지 않고 치환하는 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심: f(x)=x²+|x|-1에서 |x| 덕분에 최솟값이 올라갑니다!
x<0일 때와 x≥0일 때 각각 완전제곱식을 분석해야 합니다. 📱 충전기 연결 후 도전!
절댓값 함수 분석 전략:
x<0: |x|=-x → f(x)=x²-x-1 / x≥0: |x|=x → f(x)=x²+x-1
각각의 최솟값을 구한 뒤 t의 하한을 결정!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(f(x)=x^2+|x|-1\)에 대하여 \(y=\{f(x)\}^2+4f(x)+5\)의 최솟값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- y는 f(x)의 합성 형태 → f(x)=t로 치환
- t 범위를 정하려면 f(x)의 최솟값을 먼저 구해야 함
- f(x)에 |x| 포함 → x<0, x≥0으로 경우 분류 필요
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. x<0이면 f(x)=x²-x-1, x≥0이면 f(x)=x²+x-1. 각각 완전제곱식으로 변환해보세요!
힌트 2. 두 경우 모두 최솟값을 구하면 각각 -5/4가 나옵니다. 그런데 x<0에서 최솟값은 x=1/2에서인데 x≥0 범위 밖이에요!
힌트 3. 두 경우에서 t=f(x)의 실제 최솟값 = -1임을 확인 → t≥-1 → y=(t+2)²+1에서 최솟값은?
🧠 핵심 풀이
\(f(x)=x^2-x-1=(x-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{5}{4}\)
꼭짓점 x=1/2 → x<0 범위 밖 → 단조감소
→ x→0⁻에서 최솟값 접근: f(0⁻)→-1
\(f(x)=x^2+x-1=(x+\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{5}{4}\)
꼭짓점 x=-1/2 → x≥0 범위 밖 → 단조증가
→ x=0에서 최솟값 f(0)=-1
t=f(x), t≥-1로 놓으면:
\(y=t^2+4t+5=(t+2)^2+1\)
꼭짓점 t=-2 → t≥-1 범위 밖 → 단조증가
t=-1에서 최솟값: \((-1+2)^2+1=1+1=\boxed{2} \quad 🎯\)
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 실수: x<0에서 꼭짓점 x=1/2의 최솟값 -5/4를 f(x)의 전체 최솟값으로 오해
→ x=1/2은 x<0 범위 밖! → 이 경우의 최솟값은 x=0에 가까울 때인 -1
❌ 실수 2: t=-5/4로 놓고 풀기 → t≥-1이 맞습니다! -5/4<-1이므로 달성 불가
❌ 실수 3: (t+2)²+1에서 t=-2를 대입 → t≥-1이므로 t=-2는 범위 밖. t=-1에서 최솟값!
📌 외워두면 득점하는 패턴
절댓값 + 치환 합성 패턴
- 1단계: f(x)의 최솟값을 경우 분류(절댓값 기준)로 정확히 구함
- 2단계: t=f(x)로 치환, t의 하한 = f(x)의 최솟값
- 3단계: y=g(t)의 최솟값 (t 범위 내에서)
- 💡 꼭짓점이 범위 밖이면 경계값에서 최솟값 발생!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 4분
→ 경우 분류 → f(x) 최솟값 확인 → t 치환 → y 최솟값
📝 수능 시험: 목표 2분 30초
→ 절댓값 분기 → 각 범위의 단조성 즉시 파악 → t 하한 결정
📸 출판사 공식 해설
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✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 절댓값 + 합성함수 최솟값 심화 마플시너지 공수1 | t 하한 설정 후 최솟값 종합- 연산 워크시트 48번 → 절댓값 경우 분류 기초
- 622·623번 포스트 → 치환 기본 유형 복습
- 마플시너지 → 절댓값 + 합성함수 심화