쎈 공통수학1 622번 📐 공통부분 치환으로 최대·최소 구하기
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 공통부분 t 치환 → t 범위 결정 → 최대·최소 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “같은 식이 두 번 반복” → 치환의 신호!
- 📊 x 범위 → t 범위 → y 최대·최소 3단계 흐름표
- ⚠️ t의 범위를 반드시 x 범위로부터 계산해야 하는 이유
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심 패턴: 함수 안에 같은 식이 두 번 이상 반복되면 → 공통부분을 t로 치환!
📱 충전기 연결 후 x²-2x+3를 t로 놓고 t의 범위부터 구해보세요.
🔄🎯
공통부분 치환 3단계 흐름:
① 공통부분 = t 설정 → ② x 범위에서 t 범위 계산 → ③ t 범위에서 y 최대·최소
공통부분 치환 3단계 흐름:
① 공통부분 = t 설정 → ② x 범위에서 t 범위 계산 → ③ t 범위에서 y 최대·최소
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(-1 \leq x \leq 2\)에서 \(y=(x^2-2x+3)^2-2(x^2-2x+3)-4\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- \(x^2-2x+3\)이 두 번 반복 → t로 치환!
- \(x^2-2x+3=(x-1)^2+2 \geq 2\)
- \(-1 \leq x \leq 2\)에서 t의 범위 결정 → y의 최대·최소
x²-2x+3 = t 치환
→
x 범위 → t 범위
2 ≤ t ≤ 6
2 ≤ t ≤ 6
→
y=t²-2t-4
최대·최소
최대·최소
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\). -1≤x≤2에서 t의 범위를 구해보세요!
힌트 2. x=1일 때 t=2(최솟값), x=-1 또는 x=2일 때 t=6(최댓값) → 2≤t≤6
힌트 3. \(y=t^2-2t-4=(t-1)^2-5\). 2≤t≤6에서 최솟값과 최댓값을 구해보세요!
🧠 핵심 풀이
1 치환 및 t 범위 결정
\(t = x^2-2x+3 = (x-1)^2+2\)
\(-1 \leq x \leq 2\)에서:
따라서 \(2 \leq t \leq 6\)
\(t = x^2-2x+3 = (x-1)^2+2\)
\(-1 \leq x \leq 2\)에서:
| x | t = (x-1)²+2 |
|---|---|
| x=1 (꼭짓점) | t=2 (최솟값) |
| x=-1 또는 x=2 | t=6 (최댓값) |
2 t로 표현된 y의 최대·최소
\(y=t^2-2t-4=(t-1)^2-5\)
꼭짓점 t=1이 범위 [2,6] 밖! → 단조증가 구간
\(y=t^2-2t-4=(t-1)^2-5\)
꼭짓점 t=1이 범위 [2,6] 밖! → 단조증가 구간
| t | y=(t-1)²-5 |
|---|---|
| t=2 | \(y=1-5=\mathbf{-4}\) → 최솟값 |
| t=6 | \(y=25-5=\mathbf{20}\) → 최댓값 |
3 최댓값 + 최솟값
$$20+(-4)=\boxed{16} \quad 🎯$$
$$20+(-4)=\boxed{16} \quad 🎯$$
🔄→📊→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: t의 범위를 구하지 않고 t≥2로만 설정 → x 범위 [-1,2]가 있으므로 t의 상한도 구해야 함!
❌ 실수 2: y=(t-1)²-5에서 꼭짓점 t=1이 범위 [2,6] 밖임을 확인하지 않기
→ t=1은 범위 밖 → 단조증가 → t=2에서 최솟값, t=6에서 최댓값
❌ 실수 3: t=6일 때 y=25-5=20임을 잘못 계산 → (6-1)²=25 확인!
📌 외워두면 득점하는 패턴
공통부분 치환 3단계 패턴
- Step 1: 반복되는 식 = t (반드시 완전제곱식으로 변환 후)
- Step 2: x 범위 → t 범위 계산 (t가 이차함수이면 꼭짓점·끝점 비교!)
- Step 3: t 범위에서 y=f(t)의 최대·최소 (다시 꼭짓점·끝점 비교!)
💡 t 범위 결정이 핵심 관문! x 범위를 반드시 반영하세요.
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ 치환 → t 범위 → 최대·최소. t 범위 검산 필수!
📝 수능 시험: 목표 2분
→ 공통부분 인식 즉시 → 3단계 처리 자동화
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 공통부분 치환 + t 범위 심화 유형 마플시너지 공수1 | 합성 형태 함수의 최대·최소 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 46번 → 공통부분 치환 기초 반복
- 개념 포스트 (공통부분 치환과 최대·최소) → 3단계 흐름 완벽 이해
- 마플시너지 → 치환 + t 범위 복합 심화 유형