쎈 공통수학1 618번 📐 가변 범위 이차함수의 최솟값 조건에서 a 결정
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 꼭짓점이 구간 안/밖일 때 경우 분류 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “최솟값이 꼭짓점 최솟값(-2)이 아니라 -1” → 꼭짓점이 구간 밖!
- 💡 구간의 오른쪽 끝점 x=a에서 최솟값이 -1이 되는 a 계산
- ⚠️ 경우 분류 없이 바로 풀려다 막히는 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심: 꼭짓점의 최솟값(-2)≠ 주어진 최솟값(-1) → 꼭짓점이 구간 밖에 있습니다!
📱 충전기 연결 후 꼭짓점 위치를 먼저 파악해보세요.
🔍📋
핵심 사고과정:
꼭짓점 최솟값(-2) ≠ 주어진 최솟값(-1) → 꼭짓점이 구간에 포함되지 않음!
→ 구간 끝점에서 최솟값 = -1이 되는 a를 구해야 함
핵심 사고과정:
꼭짓점 최솟값(-2) ≠ 주어진 최솟값(-1) → 꼭짓점이 구간에 포함되지 않음!
→ 구간 끝점에서 최솟값 = -1이 되는 a를 구해야 함
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(-5 \leq x \leq a\)에서 \(y=x^2+2x-1\)의 최솟값이 -1일 때, 상수 a의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- \(y=(x+1)^2-2\) → 꼭짓점 \((-1, -2)\)
- 꼭짓점의 최솟값 = -2인데 주어진 최솟값 = -1 ≠ -2
- → 꼭짓점 x=-1이 구간 [-5, a]에 포함되지 않아야 함!
- 즉 a < -1이어야 함 → 구간 끝점 x=a에서 최솟값 발생
🗝️ 핵심 아이디어: 최솟값으로 경우 분류
꼭짓점이 구간 안에 포함되면 → 최솟값 = 꼭짓점 y좌표 = -2
그런데 주어진 최솟값이 -1 ≠ -2 → 꼭짓점이 구간 밖!
→ 구간 오른쪽 끝(x=a)에서 최솟값 -1 발생 (a < -1)
꼭짓점이 구간 안에 포함되면 → 최솟값 = 꼭짓점 y좌표 = -2
그런데 주어진 최솟값이 -1 ≠ -2 → 꼭짓점이 구간 밖!
→ 구간 오른쪽 끝(x=a)에서 최솟값 -1 발생 (a < -1)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(y=(x+1)^2-2\). 꼭짓점 x=-1, 최솟값=-2
힌트 2. 주어진 최솟값=-1 ≠ -2 → 꼭짓점이 구간 밖 → a < -1
힌트 3. a < -1이면 구간 [-5,a]에서 단조 감소 → x=a에서 최솟값: \(a^2+2a-1=-1\) → a=?
🧠 핵심 풀이 | 경우 분류
1 함수 분석
\(y=(x+1)^2-2\) → 꼭짓점 (-1, -2), 아래로 볼록
\(y=(x+1)^2-2\) → 꼭짓점 (-1, -2), 아래로 볼록
경우 1: a ≥ -1 (꼭짓점이 구간 안에 포함)
→ 최솟값 = -2 ≠ -1 → 모순! 이 경우는 불가능
→ 최솟값 = -2 ≠ -1 → 모순! 이 경우는 불가능
경우 2: -5 < a < -1 (꼭짓점이 구간 오른쪽 밖)
→ 구간 [-5, a]에서 x=a가 꼭짓점에 가장 가까운 점 → x=a에서 최솟값
\(f(a) = a^2+2a-1=-1\)
\(a^2+2a=0 \Rightarrow a(a+2)=0 \Rightarrow a=0 \text{ 또는 } a=-2\)
\(-5 < a < -1\) 조건에서 \(a = \boxed{-2} \quad 🎯\)
→ 구간 [-5, a]에서 x=a가 꼭짓점에 가장 가까운 점 → x=a에서 최솟값
\(f(a) = a^2+2a-1=-1\)
\(a^2+2a=0 \Rightarrow a(a+2)=0 \Rightarrow a=0 \text{ 또는 } a=-2\)
\(-5 < a < -1\) 조건에서 \(a = \boxed{-2} \quad 🎯\)
🔍→📋→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 경우 분류 없이 “꼭짓점에서 최솟값 = -1″로 설정 → 꼭짓점 최솟값은 -2로 고정!
❌ 실수 2: a(a+2)=0에서 a=0을 선택 → a=-5<a<-1 조건을 확인하지 않은 실수
→ a=0은 조건 a<-1을 만족하지 않으므로 탈락!
❌ 실수 3: 구간 [-5,a]에서 꼭짓점이 오른쪽 밖이면 단조감소 → x=a가 최솟값임을 인식 못함
📌 외워두면 득점하는 패턴
가변 범위 최솟값 조건 경우 분류 패턴
- 먼저 꼭짓점의 최솟값(또는 최댓값)을 구함
- 주어진 최소(최대)값과 비교:
- 같으면 → 꼭짓점이 구간 안에 포함된 경우
- 다르면 → 꼭짓점이 구간 밖 → 끝점에서 최솟값 발생
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ 경우 분류 2가지 → 모순 확인 → 조건 검증
📝 수능 시험: 목표 2분
→ 꼭짓점 최솟값과 주어진 최솟값 비교 → 즉시 경우 결정!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 가변 범위 최솟값 조건 경우 분류 심화 마플시너지 공수1 | 꼭짓점이 구간 밖인 경우 최대·최소
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 40번 → 제한 범위 기초 훈련
- 개념 포스트 (가변 범위 이차함수) → 경우 분류 완전 이해
- 마플시너지 → 가변 범위 경우 분류 심화 유형