쎈 공통수학1 617번 📐 제한된 범위 이차함수 최댓값·최솟값의 차
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 -2≤x≤1에서 최대·최소 위치 결정 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “위로 볼록” → 꼭짓점에서 최댓값, 끝점에서 최솟값 분석
- 💡 a가 상쇄되어 답이 a와 무관한 이유
- ⚠️ 최솟값이 x=-2에서 나오는 것을 놓치는 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
💡 이 문제의 핵심 포인트: 최댓값과 최솟값의 차에서 a가 소거됩니다!
📱 충전기 연결 후 먼저 꼭짓점과 끝점을 모두 계산해보세요.
🔭⚖️
위로 볼록 (a<0) 제한 범위 전략:
꼭짓점이 구간 안 → 꼭짓점=최댓값 / 더 먼 끝점=최솟값
위로 볼록 (a<0) 제한 범위 전략:
꼭짓점이 구간 안 → 꼭짓점=최댓값 / 더 먼 끝점=최솟값
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(-2 \leq x \leq 1\)에서 \(y=-2x^2+4x+a\)의 최댓값과 최솟값의 차를 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 완전제곱식: \(y=-2(x-1)^2+2+a\) → 꼭짓점 \((1, 2+a)\)
- 최고차계수 -2 < 0 → 위로 볼록 → 꼭짓점에서 최댓값
- x=1 (꼭짓점, 오른쪽 끝점)에서 최댓값, x=-2에서 최솟값 발생
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(y=-2(x-1)^2+2+a\). 꼭짓점 x=1이 [-2,1]의 오른쪽 끝점에 해당
힌트 2. 위로 볼록 + 꼭짓점이 끝점 → 최댓값=f(1)=2+a
힌트 3. 최솟값은 꼭짓점에서 가장 먼 끝점 x=-2에서 발생 → f(-2) = ?
🧠 핵심 풀이
1 주요 점 함수값 계산
| x | f(x) | 비고 |
|---|---|---|
| -2 | -8-8+a = -16+a | 최솟값 (꼭짓점에서 가장 먼 끝점) |
| 1 | -2+4+a = 2+a | 꼭짓점 = 오른쪽 끝점 |
💡 f(-2)=-2×4+4×(-2)+a=-8-8+a=-16+a
2 최댓값과 최솟값의 차
최댓값 = \(2+a\), 최솟값 = \(-16+a\)
차 = \((2+a)-(-16+a) = 2+a+16-a = \boxed{18} \quad 🎯\)
최댓값 = \(2+a\), 최솟값 = \(-16+a\)
차 = \((2+a)-(-16+a) = 2+a+16-a = \boxed{18} \quad 🎯\)
💡 a가 소거! → 답은 a의 값에 관계없이 항상 18
📈→📉→⚖️
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 최솟값이 x=-2가 아닌 x=1(또 다른 끝점)이라고 착각
→ f(1)=2+a > f(-2)=-16+a 이므로 x=-2가 최솟값 위치!
❌ 실수 2: f(-2)=-2(-2)²+4(-2)+a = -8-8+a = -16+a에서 계산 실수
→ -2×4=-8, 4×(-2)=-8을 꼼꼼히 확인!
❌ 실수 3: “a가 없는 답이 나올 수 없다”고 판단하고 a를 구하려 함 → a는 소거됩니다!
📌 외워두면 득점하는 패턴
최댓값과 최솟값의 차에서 상수가 소거되는 패턴
- 함수에 상수 a가 더해진 형태: 최댓값과 최솟값 모두 a를 포함
- 차를 구할 때 a가 소거 → 답은 a 무관
- 이런 문제에서 a를 굳이 구하려 하지 말고 차를 바로 계산!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 1분 30초
→ 완전제곱식 → 3점 비교 → 차 계산. a 소거 확인!
📝 수능 시험: 목표 1분
→ a 소거를 예상하고 빠르게 차만 계산!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 제한 범위 최댓값-최솟값의 차 유형 마플시너지 공수1 | 상수 소거형 최대·최소 심화 유형
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 40번 → 제한 범위 기초 반복
- 개념 포스트 (제한 범위 이차함수) → 위로 볼록 최대·최소 원리
- 마플시너지 → 상수 소거형 복합 심화 유형