쎈 공통수학1 603번 📐 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
📋 이 포스팅에서 얻어가는 것들
- 🎬 D≥0 조건으로 자연수 k 개수 구하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “적어도 한 점” vs “서로 다른 두 점” vs “접함” 완벽 구분
- ⚠️ D≥0과 D>0을 혼동하는 치명적 실수 방지
- 💡 자연수 k 개수 세기 실수 없는 방법
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 충전기 연결! “적어도 한 점”이라는 말을 보는 순간 D≥0을 떠올리는 훈련을 해보세요 🎯
📊🔑
“적어도 한 점에서 만난다” = 두 점 또는 한 점(접함) = D ≥ 0
“적어도 한 점에서 만난다” = 두 점 또는 한 점(접함) = D ≥ 0
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y = x^2 – 2x + k\)의 그래프와 직선 \(y = 2x – 1\)이 적어도 한 점에서 만나도록 하는 자연수 k의 개수를 구합니다.
🔑 단서 찾기
- “적어도 한 점에서 만난다” → D ≥ 0 (접하는 경우 포함)
- 이항 후 이차방정식 정리 → D/4 계산
- D≥0에서 k의 범위 → 자연수 세기
🗝️ 위치 관계 용어 완벽 정리 (헷갈리면 여기!)
| 표현 | 판별식 조건 |
|---|---|
| 서로 다른 두 점에서 만남 | D > 0 |
| 접함 (한 점) | D = 0 |
| 적어도 한 점에서 만남 | D ≥ 0 |
| 만나지 않음 | D < 0 |
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(x^2-2x+k=2x-1\)을 정리하면 \(x^2-4x+(k+1)=0\)
힌트 2. \(\dfrac{D}{4}=4-(k+1) \geq 0\)에서 k의 범위를 구하세요.
힌트 3. k≤3을 만족하는 자연수 k의 개수를 세세요!
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
1 이차방정식 정리
\(x^2-2x+k=2x-1\) → \(x^2-4x+(k+1)=0\)
\(x^2-2x+k=2x-1\) → \(x^2-4x+(k+1)=0\)
2 D/4 계산 및 조건 적용
$$\frac{D}{4}=(-2)^2-(k+1)=4-k-1=3-k$$ 적어도 한 점에서 만나려면: $$3-k \geq 0 \quad \Rightarrow \quad k \leq 3$$
$$\frac{D}{4}=(-2)^2-(k+1)=4-k-1=3-k$$ 적어도 한 점에서 만나려면: $$3-k \geq 0 \quad \Rightarrow \quad k \leq 3$$
3 자연수 k 개수 확인
자연수 k ≥ 1이고 k ≤ 3이므로: \(k = 1,\;2,\;3\)
∴ 자연수 k의 개수: \(\boxed{3} \quad 🎯\)
자연수 k ≥ 1이고 k ≤ 3이므로: \(k = 1,\;2,\;3\)
∴ 자연수 k의 개수: \(\boxed{3} \quad 🎯\)
📋→🔢→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 실수: “적어도 한 점” → D>0으로 혼동 → 등호를 빼면 접하는 경우 제외됨!
❌ 실수 2: 이차방정식 정리 시 \(x^2-4x+k+1=0\)이 아닌 \(x^2-4x+k-1=0\) → 상수항 부호 실수
→ 우변 −1을 이항하면 좌변에 +1이 됨을 확인
❌ 실수 3: k≤3인 자연수 개수를 2개로 세기 → k=1, 2, 3으로 3개
📌 외워두면 득점하는 패턴
위치 관계 + 정수 개수 세기 패턴
- 조건에서 k의 범위(부등식) 결정
- 자연수, 정수, 양의 정수 등 범위를 정확히 확인
- 경계값 포함 여부 (≤, ≥) 반드시 확인 후 나열
- k<n인 자연수 개수 = n-1개 (n이 정수일 때)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분
→ 이항 → D/4 계산 → k≤3 → 자연수 1, 2, 3 → 3개. 각 단계 검산!
📝 수능 시험: 목표 1분 10초
→ “적어도 한 점” → D≥0 자동 반응 + 자연수 범위 빠르게 확정
💡 속도 향상: 위치 관계 용어 → 판별식 조건 즉시 연결 훈련!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | “적어도 한 점” 조건 D≥0 적용 심화 마플시너지 공수1 | 조건을 만족하는 자연수·정수 k 개수 구하기
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 28번 → D 기초 반복
- 개념 포스트 (이차함수와 직선의 관계) → 위치 관계 완벽 정리
- 마플시너지 → 자연수 k 개수 심화 유형 연습