쎈 공통수학1 601번 📐 이차함수의 그래프와 직선의 교점
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 f(x)−g(x) 인수분해 아이디어 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “두 그래프가 공통점 α를 가진다” → 인수분해의 단서
- 🧠 g(0)=−2 조건으로 α값 결정하는 흐름
- ⚠️ 이 유형에서 가장 많이 막히는 아이디어 포인트
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 이 문제는 “공통 교점이 인수로 등장한다”는 핵심 아이디어를 익히는 것이 포인트!
📱 충전기 연결 후 먼저 f(x)−g(x)를 어떻게 인수분해할지 생각해보세요.
핵심 아이디어 미리보기:
f(x)와 g(x)가 x=α에서 만난다 → f(α)−g(α)=0 → (x−α)가 인수!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
최고차계수 1인 이차함수 \(y=f(x)\)가 x축과 \((\alpha,0),\;(\beta,0)\)에서 만나고, 직선 \(y=g(x)\)와는 \((\alpha,0),\;(\gamma,f(\gamma))\)에서 만납니다.
\(\beta-\alpha=3,\;\gamma-\beta=2,\;g(0)=-2\)일 때, \(f(\alpha+\beta+\gamma)\)를 구합니다. (단, \(\alpha<\beta<\gamma\))
🔑 단서 찾기
- x축과 \((\alpha,0),(\beta,0)\)에서 만남 → \(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)\)
- f(x)와 g(x)가 x=α, x=γ에서 만남 → \(f(x)-g(x)=(x-\alpha)(x-\gamma)\)
- 이 두 식을 이용해 g(x) 결정, 이후 g(0) 조건으로 α 확정
\(f(x)-g(x)\)는 이차-일차 = 이차 다항식이고, x=α, x=γ에서 0이므로:
$$f(x)-g(x) = (x-\alpha)(x-\gamma)$$ 이 아이디어가 문제의 열쇠입니다!
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)\)로 설정하세요.
힌트 2. \(f(x)-g(x)=(x-\alpha)(x-\gamma)\)에서 g(x)를 f(x)로 표현하면?
힌트 3. g(0)=−2를 대입해서 α를 구하고, β, γ를 확정한 뒤 f(α+β+γ)를 계산하세요.
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
$$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$$ $$f(x)-g(x)=(x-\alpha)(x-\gamma) \quad \cdots (*)$$
(*)에서 g(x)를 구하면: $$g(x)=(x-\alpha)(x-\beta)-(x-\alpha)(x-\gamma)$$ $$=(x-\alpha)\bigl[(x-\beta)-(x-\gamma)\bigr]$$ $$=(x-\alpha)(\gamma-\beta)$$ \(\gamma-\beta=2\)이므로: \(g(x)=2(x-\alpha)\)
\(g(0)=2(0-\alpha)=-2\alpha=-2 \Rightarrow \alpha=1\)
\(\beta=\alpha+3=4,\quad \gamma=\beta+2=6\)
\(\alpha+\beta+\gamma=1+4+6=11\) $$f(11)=(11-1)(11-4)=10\times7=\boxed{70} \quad 🎯$$
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 막힘: “f(x)−g(x)를 어떻게 인수분해하지?”라는 아이디어 자체를 떠올리지 못함
→ 두 함수가 x=α, x=γ에서 만나면 f(α)−g(α)=0, f(γ)−g(γ)=0 → 두 개의 근 → 인수분해!
❌ 실수 2: \((x-\alpha)\bigl[(x-\beta)-(x-\gamma)\bigr] = (x-\alpha)(\gamma-\beta)\)에서 부호 실수
→ \(-(x-\gamma) = +\gamma-x\)가 아니라 \(-(x-\beta)+(x-\gamma)=\gamma-\beta\)
❌ 실수 3: α+β+γ=11을 구한 후 f(1+4+6)을 f(11)이 아닌 f(1)+f(4)+f(6)으로 착각
📌 외워두면 득점하는 패턴
교점과 인수분해의 황금 패턴
- 두 함수 h₁(x), h₂(x)가 x=p, x=q에서 만남 → h₁(x)−h₂(x) = A(x−p)(x−q)
- 최고차계수를 비교해서 A를 결정
- 추가 조건(함수값, 특정 점의 좌표)으로 미지수 확정
💡 이 패턴은 이차함수-직선뿐만 아니라 고차함수 문제에서도 반복 등장합니다!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ 아이디어를 떠올리는 시간 포함. 처음엔 느려도 괜찮습니다. 패턴을 익히면 빨라져요!
📝 수능 시험: 목표 2분
→ “공통 교점 → f−g 인수분해”를 자동반응으로 연결하는 훈련이 핵심
💡 속도 향상: 비슷한 유형을 여러 번 풀어 아이디어 자동화 훈련!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | f(x)−g(x) 인수분해 활용 고급 유형 마플시너지 공수1 | 이차함수와 직선의 공통 교점 조건- 연산 워크시트 34번 → 이차함수-직선 기본 훈련
- 개념 포스트 (실근과 교점의 관계) → 원리 이해
- 마플시너지 → f(x)−g(x) 인수분해 심화 유형