📌 log x와 log ∛x의 소수 부분 합이 1 — 이 조건, 어떻게 쓰나요?
이 문제는 소수 부분의 합이 1인 두 상용로그 유형(유형 08)의 기본 문제입니다. 핵심은 “소수 부분의 합이 1이면 두 로그의 합이 정수”임을 이용해 (4/3)log x를 정수로 변환한 뒤 범위에서 유일한 정수를 확정하는 발상입니다. 조건에 ∛x(세제곱근)를 쓰고, 정작 답을 구할 때는 √x(제곱근)를 요구하는 것도 이 문제의 포인트입니다. 정답은 ④ 15입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 261번 · 유형 08 · NORMAL)
10³ < x < 10⁴인 양수 x에 대하여 log x의 소수 부분과 log ∛x의 소수 부분의 합이 1일 때, log √x의 소수 부분을 기약분수 q/p라 하면 p + q의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ④입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 문제풀이 핵심
소수 부분의 합이 1이면 두 수의 합은 정수가 됩니다. log x + log ∛x = log x + (1/3) log x = (4/3) log x를 정수로 놓는 것이 이 문제 풀이의 시작입니다. 범위 조건 3 < log x < 4에서 4 < (4/3)log x < 16/3 ≈ 5.33이므로, 가능한 정수는 5 하나뿐이고, 따라서 log x = 15/4로 확정됩니다.
조건에서 쓴 것은 ∛x (세제곱근)이지만, 정작 소수 부분을 구해야 할 것은 √x (제곱근)입니다. log √x = (1/2) × log x = (1/2) × (15/4) = 15/8 = 1 + 7/8이므로 소수 부분은 7/8 → p = 8, q = 7 → p + q = 15. 두 대상을 혼동하지 않는 것이 이 문제의 최대 포인트입니다.
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “소수 부분의 합이 1” = “각각의 소수 부분이 1/2″로 잘못 해석하는 경우.
합이 1이라는 것이지, 각각이 정해진 값은 아닙니다. 핵심은 두 소수 부분의 합 전체가 정수라는 사실입니다.
실수 ② 범위 계산에서 4 < (4/3)log x < 16/3 ≈ 5.33에서 정수를 4로 잘못 택하는 경우.
4는 등호가 없어 포함되지 않으므로 유일한 정수는 5입니다. 범위 부등호 방향을 꼭 확인하세요.
실수 ③ x = 10^(15/4)를 구한 뒤, ∛x의 소수 부분을 그대로 답으로 내는 경우.
문제가 요구하는 것은 √x(제곱근)의 소수 부분이므로, log √x = 15/8로 다시 계산해야 합니다.
💡 꿀팁 – 소수 부분 합 조건 빠르게 처리하기
① 소수 부분의 합이 1 → 두 로그의 합이 정수.
② log x + log x^(1/n) = ((n+1)/n) log x = 정수로 세팅.
③ x 범위 → log x 범위 확정 → ((n+1)/n) log x 범위에서 유일한 정수 찾기.
이 흐름을 체화하면 √x, ∛x, ⁴√x 등 어느 버전이 출제돼도 동일하게 처리할 수 있습니다.
단, 마지막에 문제가 요구하는 로그 대상이 조건과 다를 수 있으니 반드시 재확인하세요.