📌 f(a)=1이라는 조건 하나가 순서쌍 개수를 결정합니다 — 핵심을 놓치지 마세요!
이 문제는 세제곱근과 네제곱근의 실수 개수 함수를 정의하고, 두 함수의 곱이 2가 되는 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하는 TOUGH 등급 내신 대비 유형입니다. f(a)는 a의 세제곱근 중 실수인 것의 개수, g(b)는 b의 네제곱근 중 실수인 것의 개수입니다. f(a)·g(b) = 2가 되는 경우를 체계적으로 분류한 뒤, 각 경우에서 정수 a, b의 개수를 곱하는 것이 핵심 전략입니다. 정답은 55입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 6번 · 최다빈출 왕중요 · TOUGH)
실수 x의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 f(x), 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 g(x)라 할 때, |a|≤5, |b|≤5를 만족하는 두 정수 a, b에 대해 f(a)g(b)=2를 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하는 문제입니다. 정답은 55입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
모든 실수 x에 대해 세제곱근 중 실수인 것은 항상 1개이므로 f(x) = 1 (모든 실수 x).
g(x)는 x > 0이면 2개, x = 0이면 1개, x < 0이면 0개입니다.
f(a) = 1 (모든 정수 a에 대해 고정)이므로 f(a)·g(b) = 2가 되려면 g(b) = 2이어야 합니다.
g(b) = 2가 되려면 b > 0이어야 합니다.
a의 범위: |a| ≤ 5인 정수 a는 −5, −4, …, 0, …, 4, 5로 총 11개.
b의 범위: |b| ≤ 5이고 b > 0인 정수 b는 1, 2, 3, 4, 5로 총 5개.
a 11개 × b 5개 = 55개
∴ 순서쌍 (a, b)의 개수 = 55
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① f(a)가 a의 값에 따라 달라진다고 착각하는 경우. 세제곱근은 n=3(홀수)이므로 x의 부호에 관계없이 실수인 세제곱근이 항상 1개입니다. f(x)는 모든 실수에서 1로 상수 함수입니다.
실수 ② b=0일 때 g(0)=1이므로 f(a)·g(0)=1·1=1이 되어 조건 불만족임을 간과하는 경우. b=0은 포함하지 않아야 합니다.
실수 ③ |a|≤5인 정수를 10개로 잘못 세는 경우. 0을 포함하여 반드시 11개임을 확인하세요.
💡 꿀팁 – f·g = k 유형의 풀이 전략
이 유형에서는 먼저 f(x)와 g(x)가 취할 수 있는 값의 목록을 정리하는 것이 핵심입니다. f(x): 항상 1 / g(x): 0, 1, 2 세 가지 경우. f·g = 2가 되는 경우는 1×2 뿐이므로 조건이 g(b)=2로 단순화됩니다. 만약 문제에서 f·g = 1이 조건이라면 f=1, g=1 (b=0)도 포함됩니다. 가능한 곱의 경우를 먼저 나열하면 풀이가 빠르게 정리됩니다.