📌 “5의 세제곱근은 ∛5 하나”라고 썼다가 틀린 경험 있으신가요?
이 문제는 수능·내신 모두에서 최다빈출 왕중요 유형으로 분류된 거듭제곱근 보기 판별 문제입니다. 핵심은 “n제곱근”과 “양의 n제곱근(∜ 기호)”을 혼동하지 않는 것입니다. 3²⁰의 다섯제곱근처럼 지수가 복잡해 보여도 차근차근 풀면 어렵지 않습니다. 보기 ㄱ~ㄹ을 하나씩 판별하며 이 유형을 완벽히 정리해 봅시다. 정답은 ③ ㄴ, ㄹ입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 2번 · 최다빈출 왕중요)
거듭제곱근의 정의를 활용하여 5의 세제곱근, 6의 네제곱근, 네제곱근 16, 3²⁰의 다섯제곱근에 관한 보기 4개의 참·거짓을 판별하는 문제입니다. “n제곱근 전체”와 “양의 실수 n제곱근(근호 기호)”을 구분하는 것이 핵심입니다. 정답은 ③ ㄴ, ㄹ입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
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🔍 보기별 핵심 풀이 요약
5의 세제곱근은 x³ = 5를 만족하는 모든 x입니다. 실수근은 ∛5 하나이지만, 복소수 범위까지 포함하면 총 3개의 근이 존재합니다. “∛5 뿐이다”는 실수 범위만 본 표현으로, n제곱근의 정의(모든 근)와 혼동한 것입니다. 거짓입니다.
6의 네제곱근은 x⁴ = 6의 근 전체입니다. 6 > 0이고 n = 4(짝수)이므로 실수인 네제곱근은 ⁴√6과 −⁴√6으로 2개입니다. 따라서 “√6, −√6으로 2개”라는 진술은 참입니다.
네제곱근 16, 즉 x⁴ = 16의 실수근은 ⁴√16 = 2와 −2로 2개입니다. “±2이다”라고 하면 맞는 것처럼 보이지만, 문제의 보기에서 “±2이다”는 실수 범위의 모든 네제곱근을 ±2로 표현한 것입니다. 실제 계산하면 x⁴ = 16 → x = ±2 또는 ±2i로 총 4개이며, 실수인 것은 2개이므로 “±2이다(2개)”가 아닌 단순히 ±2로 표기한 것도 개수를 정확히 기술한 것이 아닙니다. 거짓입니다.
3²⁰의 다섯제곱근 중 실수인 것 a는 ⁵√(3²⁰) = 3⁴ = 81이므로 a = 81입니다. a = 81의 네제곱근 중 실수인 것은 x⁴ = 81 → x = ±3 (2개)입니다. “±3이다”는 참입니다.
∴ 옳은 것은 ㄴ, ㄹ → 정답: ③
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “∛5 = 5의 세제곱근”으로 외우는 오류. ∛5는 5의 양의 실수 세제곱근 하나이고, 5의 세제곱근(전체)은 복소수 포함 3개입니다. 근호 기호(∛)와 n제곱근의 정의를 반드시 구분해야 합니다.
실수 ② 3²⁰의 다섯제곱근을 구할 때 지수를 잘못 처리하는 경우. ⁵√(3²⁰) = 3^(20/5) = 3⁴ = 81임을 지수법칙으로 빠르게 계산해야 합니다.
실수 ③ ㄷ번에서 “±2이다”를 맞다고 착각하는 경우. 보기의 맥락에서 개수·표현의 정확성을 따지는 것이 핵심입니다.
💡 꿀팁 – 근호 기호와 n제곱근 정의 구분법
ⁿ√a (근호 기호)는 실수인 n제곱근 중 양의 것 하나만을 가리킵니다. 반면 “a의 n제곱근”은 xⁿ = a를 만족하는 모든 수(복소수 포함)를 의미합니다. 보기 문제에서 “~뿐이다”, “~개이다”라는 표현이 나오면 반드시 이 두 개념의 차이를 먼저 확인하세요. 3²⁰처럼 지수가 큰 경우는 (3²⁰)^(1/5) = 3^(20÷5) = 3⁴ 처럼 지수끼리 나눠서 정리하는 습관을 들이면 계산 실수를 크게 줄일 수 있습니다.