📌 -27의 세제곱근이 -3 하나뿐이라고 생각했다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 거듭제곱근의 정의를 정확히 이해하고 있는지 확인하는 학교 기출 대표 유형입니다. 많은 학생들이 “세제곱근 = 실수 1개”라고 단순 암기하지만, 복소수 범위까지 고려하면 개수가 달라집니다. 보기 ㄱ~ㄹ을 하나씩 짚어가며 n이 홀수·짝수일 때 실수인 근의 개수 판별법을 완전히 정리해 봅시다. 정답은 ③ ㄷ, ㄹ입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 1번 · 학교기출 대표유형)
거듭제곱근의 정의를 활용하여 보기 4개의 참·거짓을 판별하는 문제입니다. 음수의 세제곱근, 양수의 네제곱근, n이 홀수·짝수일 때의 실수인 근의 개수를 각각 따져보는 것이 핵심입니다. 정답은 ③입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 보기별 핵심 풀이 요약
−27의 세제곱근은 x³ = −27의 근 전체입니다. x³ + 27 = 0 → (x+3)(x²−3x+9) = 0을 풀면 실수근은 x = −3, 복소수근은 x = (3±3√3 i)/2로 총 3개입니다. 따라서 “−3 뿐”은 거짓입니다.
⁴√64 = ⁴√(2⁶) = 2^(6/4) = 2^(3/2) = 2√2입니다. 2√2의 제곱근(= x² = 2√2 의 근)은 실수 범위에서 ±⁴√(2√2), 즉 2개 존재합니다. “2뿐”이라는 표현은 거짓입니다.
n이 홀수이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 a의 부호에 관계없이 항상 1개뿐입니다. 3 > 0이므로 3의 n제곱근 중 실수인 것은 ⁿ√3 하나이므로 참입니다.
n이 짝수이고 a < 0이면, 실수 범위에서 xⁿ = a를 만족하는 실수 x는 존재하지 않습니다. −8 < 0이므로 짝수 n에 대해 −8의 n제곱근 중 실수인 것은 0개입니다. 참입니다.
∴ 옳은 것은 ㄷ, ㄹ → 정답: ③
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “−27의 세제곱근 = −3 하나”로 암기하는 오류.
세제곱근은 x³ = a의 ‘모든 근’이므로 복소수 범위에서 항상 3개(중복 포함)를 확인해야 합니다.
실수 ② ⁴√64를 바로 “64의 네제곱근”으로 혼동하는 경우.
⁴√64는 64의 양의 네제곱근인 하나의 값(= 2√2)이며, 그 값의 제곱근을 다시 구하는 2단계 문제임을 주의하세요.
실수 ③ n의 홀짝 조건과 a의 부호 조건을 반대로 적용하는 경우.
“n 홀수 → 부호 무관, 실수근 1개 / n 짝수, a<0 → 실수근 0개” 표를 반드시 암기하세요.
💡 꿀팁 – n제곱근 실수 개수 빠른 판별법
시험 중 빠르게 판별하려면 아래 3줄 규칙만 기억하세요.
① n이 홀수 → a 부호와 무관하게 실수인 n제곱근은 반드시 1개.
② n이 짝수, a > 0 → 실수인 n제곱근은 +ⁿ√a, −ⁿ√a 로 2개.
③ n이 짝수, a < 0 → 실수인 n제곱근은 0개 (a = 0이면 0 하나).
이 규칙을 머릿속 표로 정리해두면 보기 판별 문제를 30초 안에 해결할 수 있습니다.