마플시너지 공통수학1 답지 109번 | 다항식의 연산 Tough 인수정리응용 조립제법

💡 문제 소개

마플시너지 공통수학1 답지 109번은 인수정리를 반복 적용하여 삼차 이상의 다항식을 완전히 인수분해하고, 최종적으로 모든 일차 인수의 곱으로 나타내는 Tough 등급 종합 문제입니다. 이 문제를 통해 고차 다항식 인수분해의 핵심 원리를 완벽하게 이해할 수 있습니다.

【문제 특징】

마플시너지 공통수학1 답지 109번은 상수항의 약수를 체계적으로 대입하여 첫 번째 인수를 찾고, 조립제법으로 몫을 구한 후 다시 그 몫에 대해 인수정리를 적용하는 반복 과정을 요구합니다. 단순히 한 번의 인수분해가 아니라 다항식이 완전히 일차식들의 곱으로 분해될 때까지 계속 진행해야 하는 끈기와 정확성이 필요한 유형입니다.

Tough 등급의 고난도 문제로 내신과 모의고사에서 변별력을 가르는 핵심 문항입니다. 학생들이 첫 번째 인수를 찾은 후 멈추거나, 이차식 몫을 추가로 인수분해하지 않고 끝내는 실수가 매우 빈번합니다. 또한 약수를 체계적으로 확인하지 않아 시간을 낭비하거나, 조립제법 계산 과정에서 부호 실수가 자주 발생합니다.

【필수 개념】

• 인수정리: f(a)=0이면 (x-a)가 f(x)의 인수이며, 상수항의 약수를 순서대로 대입합니다
• 반복 조립제법: 첫 조립제법 후 나온 몫이 이차 이상이면 다시 약수를 대입하여 조립제법을 실행합니다
• 이차식 인수분해: 몫이 이차식이 되면 인수분해 공식이나 근의 공식을 적용합니다
• 약수 확인 전략: ±1, ±2, ±3 순서로 작은 수부터 체계적으로 시도합니다

각 단계에서 몫의 차수를 확인하고, 더 이상 인수분해되지 않을 때까지 반복하는 것이 완전 인수분해의 핵심입니다. 인수분해에 대한 더 깊은 이해가 필요하다면 인수분해 위키백과를 참고하세요.

【실전 팁】

• ✓ 상수항의 약수 목록을 먼저 작성한 후 ±1부터 순서대로 대입하여 시행착오를 줄이세요
• ✓ 첫 번째 조립제법 후 반드시 몫의 차수를 확인하고, 2차 이상이면 추가 인수분해를 진행하세요
• ✓ 최종 답을 (x-p)(x-q)(x-r) 형태로 정리한 후 전개하여 원래 식과 일치하는지 검산하세요

반복 인수분해 패턴을 완벽히 익히면 다른 고차 다항식 문제도 자신있게 해결할 수 있습니다.

【109번 문제 출제 의도】

마플시너지 공통수학1 답지 109번은 내신 시험에서 변별력을 가르는 핵심 문항입니다. 이 문제는 단순히 인수를 하나 찾는 것이 아니라, 완전히 일차식의 곱으로 분해할 때까지 인수정리를 반복 적용하는 능력을 평가합니다. 특히 조립제법을 여러 번 사용해야 하므로, 각 단계마다 정확한 계산이 요구됩니다.

이 문제를 통해 학생들은 고차 다항식의 완전 인수분해 과정을 체계적으로 학습할 수 있으며, 실전에서 바로 적용 가능한 문제 해결 능력을 키울 수 있습니다. 마플시너지 공통수학1 답지 109번은 단순 암기가 아닌 원리 이해를 기반으로 한 문제 해결력을 요구하는 대표적인 Tough 문제입니다.

【109번 완벽 풀이 전략】

1단계: 약수 목록 체계적 작성
상수항의 약수를 모두 나열합니다. ±1, ±2, ±3, ±4 순서로 체계적으로 정리하면 시간을 절약할 수 있습니다. 마플시너지 공통수학1 답지 109번에서는 작은 약수부터 확인하는 것이 효율적입니다.

2단계: 첫 번째 인수 발견
작은 약수부터 대입하여 f(a)=0이 되는 값을 찾습니다. 대부분의 경우 ±1이나 ±2에서 인수가 발견되므로 이것부터 시도하세요. 계산기를 사용하지 않고도 빠르게 확인할 수 있는 값들입니다.

3단계: 조립제법 정확히 실행
찾은 인수로 조립제법을 실행하고 몫을 구합니다. 음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 사용하여 (-2)³ 같은 형태로 계산하세요. 부호 실수가 가장 많이 발생하는 단계입니다.

4단계: 몫의 재인수분해
몫이 이차 이상이면 다시 약수를 대입하여 조립제법을 반복합니다. 이것이 마플시너지 공통수학1 답지 109번의 핵심 과정입니다. 몫이 이차식이 될 때까지 반복하세요.

5단계: 이차식 최종 처리
몫이 이차식이 되면 인수분해 공식(십자가법 또는 근의 공식)을 적용합니다. 완전제곱식이나 합차공식 형태인지 먼저 확인하세요.

6단계: 최종 검산 필수
모든 인수를 곱하여 전개한 후 원래 식과 일치하는지 확인합니다. 이 단계를 생략하면 앞 단계의 계산 실수를 발견하지 못할 수 있습니다.

【자주 하는 실수와 해결법】

• 실수 1: 1차 인수만 찾고 종료
  첫 번째 인수를 찾고 나서 문제를 다 풀었다고 착각합니다. 반드시 몫의 차수를 확인하고 추가 인수분해를 진행하세요.
• 실수 2: 조립제법 부호 오류
  음수 대입 시 부호 계산 실수가 빈번합니다. 특히 (-2)³ = -8을 +8로 잘못 계산하는 경우가 많습니다. 괄호를 명확히 표시하세요.
• 실수 3: 이차식 몫 방치
  이차식 몫을 인수분해하지 않고 그대로 남겨두는 실수입니다. 완전 인수분해는 모든 인수가 일차식이어야 합니다.
• 실수 4: 검산 생략
  시간이 부족하다는 이유로 검산을 생략하면 앞 단계의 계산 오류를 발견하지 못합니다. 최소한 최고차항과 상수항만이라도 확인하세요.
• 실수 5: 약수 무작위 대입
  약수를 체계 없이 대입하면 시간이 낭비됩니다. 작은 수부터 순서대로 시도하면 효율적입니다.

【109번 학습 효과】

마플시너지 공통수학1 답지 109번을 완벽히 이해하면 다음과 같은 학습 효과를 얻을 수 있습니다.

첫째, 고차 다항식 인수분해에 대한 자신감이 생깁니다. 삼차, 사차 다항식도 체계적인 접근으로 해결할 수 있다는 확신을 갖게 됩니다.

둘째, 조립제법 반복 적용 능력이 향상됩니다. 한 번의 조립제법이 아니라 여러 번 연속으로 실행하는 과정에서 계산 정확도가 크게 높아집니다.

셋째, 내신 시험의 Tough 등급 문제를 정확하게 풀 수 있습니다. 마플시너지 공통수학1 답지 109번과 같은 고난도 문제가 더 이상 두렵지 않게 됩니다.

넷째, 문제 해결의 체계적 접근법을 익힙니다. 약수 확인 → 조립제법 → 몫 확인 → 반복의 순환 구조를 자연스럽게 활용하게 됩니다.

마플시너지 공통수학1 답지 109번은 80번 인수정리 기본 문제와 82번 항등식 복합 유형에서 배운 개념을 종합적으로 활용하는 문제입니다. 이 문제를 완벽히 마스터하면 111번 같은 더 고난도 문제도 자신있게 도전할 수 있습니다.

인수분해 추가 연습이 필요하다면 Khan Academy 대수학을 추천합니다. 체계적인 강의와 풍부한 연습 문제로 실력을 더욱 향상시킬 수 있습니다.

📝 문제 해설

🎥 풀이 영상

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