“
차집합과 합집합의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A-(A-B)를 먼저 간단히 합니다.
– A-(A∩Bᶜ) = A∩(A∩Bᶜ)ᶜ = A∩(Aᶜ∪B) = (A∩Aᶜ)∪(A∩B) = ∅∪(A∩B) = A∩B
2. 이제 문제는 (A∩B)∪B 입니다.
3. 벤 다이어그램을 그려보면, (A와 B의 교집합 영역)과 (B 전체 영역)의 합집합은 **집합 B**가 됩니다. (흡수법칙)
주의할 점:
집합 연산 문제를 풀 때는, 복잡한 부분부터 차근차근 간단히 만들어 나가는 것이 좋습니다.
”
새로운 연산(대칭차집합)의 성질 파악하기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. (Aᶜ∪B)ᶜ = B 를 간단히 합니다.
– 드모르간의 법칙: (Aᶜ∪B)ᶜ = (Aᶜ)ᶜ ∩ Bᶜ = A∩Bᶜ = A-B
2. 따라서 주어진 식은 **A-B = B** 와 같습니다.
3. A-B는 A에만 속하는 원소들의 집합이고, B는 B에 속하는 원소들의 집합입니다. 이 둘이 같으려면 두 집합 모두 **공집합(∅)**이 되어야 합니다.
4. A-B=∅ 이므로 A⊂B 이고, B=∅ 이므로 A⊂∅ 입니다. 이를 만족하는 A는 ∅ 뿐입니다.
5. 따라서 **A=B=∅** 입니다. 이 관계와 항상 동치인 것을 찾습니다.
주의할 점:
A-B=B와 같이, 한쪽은 차집합인데 다른 쪽은 원래 집합이 나오는 특수한 관계는 두 집합이 공집합인 경우를 강하게 시사합니다.
”
대칭차집합의 성질 참/거짓 판별하기
“
새로운 연산(☆)을 정의하고, 그 연산의 성질을 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 새로운 연산 A☆B = (A-B)∪(B-A)는 **대칭차집합**의 정의와 같습니다.
2. 대칭차집합은 교환법칙(A☆B = B☆A)과 결합법칙((A☆B)☆C = A☆(B☆C))이 성립합니다.
3. 각 보기의 연산을 대칭차집합의 성질을 이용해 간단히 합니다.
– ① A☆A = (A-A)∪(A-A) = ∅∪∅ = ∅
– ② A☆∅ = (A-∅)∪(∅-A) = A∪∅ = A
– ③ A☆U = (A-U)∪(U-A) = ∅∪Aᶜ = Aᶜ
주의할 점:
새로운 연산이 나오면, 그것이 기존에 알고 있던 연산(교집합, 합집합, 대칭차집합 등)과 어떤 관련이 있는지 먼저 파악하는 것이 중요합니다.
”
새로운 연산의 교환법칙, 결합법칙 확인하기
“
대칭차집합의 성질에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A△B = (A∪B)-(A∩B), B△A = (B∪A)-(B∩A). 합집합과 교집합은 교환법칙이 성립하므로 두 식은 같습니다.
2. (ㄴ) (A△B)△A = ((A∪B)-(A∩B))△A. 벤 다이어그램을 그려보면 이 영역이 B와 같아짐을 확인할 수 있습니다.
3. (ㄷ) A△B = ∅ 이면, (A∪B) = (A∩B) 입니다. 이는 A=B일 때만 성립합니다.
주의할 점:
대칭차집합의 여러 성질들 (A△A=∅, A△∅=A, A△U=Aᶜ, (A△B)△A=B 등)을 암기해두면 문제 풀이 시간을 단축할 수 있습니다.
”
두 집합이 서로소일 때의 성질 찾기
“
집합의 연산 법칙(분배법칙, 드모르간의 법칙 등)과 포함 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B 라는 포함 관계는 A-B=∅, A∩B=A, A∪B=B 등과 동치입니다.
2. 주어진 조건 (A∪B) ∩ (A-B)ᶜ = B 를 집합의 연산 법칙을 이용해 간단히 합니다.
– (A-B)ᶜ = (A∩Bᶜ)ᶜ = Aᶜ∪B
– (A∪B) ∩ (Aᶜ∪B) = (A∩Aᶜ) ∪ B = ∅ ∪ B = B
3. 주어진 식이 항상 성립하는 항등식임을 알 수 있습니다. 따라서 이 식만으로는 A와 B의 관계를 알 수 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A-B=∅로 유도함)
주의할 점:
해설 기준으로는, 주어진 식을 변형하여 A⊂B와 동치인 관계를 이끌어내고, 이를 만족하지 않는 보기를 찾는 문제입니다.
”
집합 연산 법칙과 포함 관계 이해하기
“
교집합, 합집합, 여집합, 차집합의 기본 연산에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A-B=∅ 이면, A는 B에 포함됩니다 (A⊂B).
2. (ㄴ) 벤 다이어그램을 그려보면, A∩Bᶜ = A-B 이고, B∩Aᶜ = B-A 입니다. 두 영역은 일반적으로 같지 않습니다.
3. (ㄷ) (A∪B) – A = (A∪B) ∩ Aᶜ = (A∩Aᶜ) ∪ (B∩Aᶜ) = ∅ ∪ (B-A) = B-A 입니다.
4. (ㄹ) A-Bᶜ = A ∩ (Bᶜ)ᶜ = A∩B 입니다.
주의할 점:
각 보기의 연산을 벤 다이어그램으로 그리거나, 연산 법칙(A-B = A∩Bᶜ)을 이용하여 대수적으로 변환하여 참/거짓을 판별합니다.
”
집합의 기본 연산 법칙 참/거짓 판별하기
“
집합의 원소 중 소수의 개수로 새로운 함수 N(S)를 정의하고, 그 성질을 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. 전체집합 U={1,…,10}에서 소수는 {2,3,5,7} (4개), 비소수는 {1,4,6,8,9,10} (6개)입니다.
2. (ㄱ) S={2,3,4}에서 소수는 2,3이므로 N(S)=2 입니다.
3. (ㄴ) N(S)의 최댓값은 U에 포함된 모든 소수를 가질 때이므로 4입니다.
4. (ㄷ) N(S)=1인 집합 S는, **4개의 소수 중 하나를 선택**하고(₄C₁), **6개의 비소수들로 만들 수 있는 모든 부분집합**과 조합하여 만듭니다. 따라서 개수는 ₄C₁ × 2⁶ 입니다.
주의할 점:
N(S)=1 이라는 것은, 소수를 정확히 1개만 포함하고 비소수는 포함해도 되고 안해도 된다는 의미로 해석해야 합니다.
”
원소 중 소수의 개수로 정의된 함수 이해하기
“
차집합과 여집합의 관계, 그리고 드모르간의 법칙을 이용한 연산 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 집합 A-Bᶜ을 먼저 간단히 합니다.
– A – Bᶜ = A ∩ (Bᶜ)ᶜ = A∩B
2. 이제 문제는 (A∩B) ∪ (B-A) 를 간단히 하는 것으로 바뀝니다.
3. 벤 다이어그램을 그려보면, (A와 B의 교집합 영역)과 (B에만 속하는 영역)을 합치는 것이므로, 결과적으로 **집합 B**가 됩니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산은 벤 다이어그램을 그려 각 부분이 나타내는 영역을 색칠해보는 것이 가장 직관적이고 실수가 적습니다.
”
차집합과 여집합, 드모르간의 법칙 이해
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독특한 규칙으로 정의된 함수 m(A)에 대해, 모든 부분집합의 함숫값의 총합을 구하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 규칙을 분석하면, m(A)는 A의 원소를 큰 수부터 +와 -를 번갈아 계산합니다.
2. (규칙성 찾기) 집합 A와, A에 가장 큰 원소(5)를 추가한 집합 B=A∪{5}의 함숫값 관계를 봅니다. m(B) = 5 – m(A) 입니다. 즉, m(A) + m(B) = 5.
3. {1,2,3,4,5}의 모든 부분집합(32개)은, 5를 포함하지 않는 부분집합(16개)과 5를 포함하는 부분집합(16개)으로 나눌 수 있습니다.
4. 이 둘은 1:1로 짝지을 수 있으며, 각 쌍의 함숫값의 합은 항상 5가 됩니다.
5. 따라서 공집합을 제외한 31개 부분집합의 함숫값 총합은 (16쌍 × 5) – m(∅) 입니다. 문제의 정의상 공집합은 없으므로 총 15쌍과 {5}가 남습니다. 총합은 15*5 + m({5}) 입니다.
주의할 점:
함숫값의 규칙성을 파악하여 모든 값을 직접 계산하지 않고 총합을 구하는 아이디어를 떠올리는 것이 핵심입니다.
”
규칙적으로 정의된 함수의 총합 구하기
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797번과 유사하게, 집합의 연산 법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 하는 문제입니다.
접근법:
1. A – (A-B) = A ∩ (A∩Bᶜ)ᶜ
2. 드모르간의 법칙을 이용해 (A∩Bᶜ)ᶜ = Aᶜ∪B 로 변환합니다.
3. 분배법칙을 이용해 A ∩ (Aᶜ∪B) = (A∩Aᶜ) ∪ (A∩B) 로 전개합니다.
4. A∩Aᶜ = ∅ (공집합) 이므로, ∅ ∪ (A∩B) = A∩B 가 됩니다.
5. 따라서 주어진 식은 **A∩B**와 같습니다.
주의할 점:
차집합을 교집합과 여집합으로 바꾸는 공식(X-Y = X∩Yᶜ)과 드모르간의 법칙, 분배법칙 등 기본 연산 법칙을 능숙하게 사용할 수 있어야 합니다.
”
차집합과 연산 법칙을 이용한 식 변형하기
