📌 집합 S의 정의를 정확히 해석하는 순간 이 문제가 풀립니다!
이 문제는 집합 S = {(a, b) | ᵃ√b는 실수, a∈A, b∈B}를 정의하고, 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참·거짓을 판별하는 TOUGH 등급 유형입니다. 핵심은 ᵃ√b가 실수가 되기 위한 조건, 즉 a의 홀짝에 따라 b의 부호 조건이 달라진다는 점입니다. A = {2, 3, 4}, B = {−3, −2, 0, 1, 2} 조건 아래에서 각 a 값에 허용되는 b의 범위를 체계적으로 정리해야 합니다. 정답은 ③ ㄱ, ㄷ입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 8번 · TOUGH)
A = {2, 3, 4}, B = {−3, −2, 0, 1, 2}로 정의된 두 집합에 대해 S = {(a, b) | ᵃ√b는 실수, a∈A, b∈B}를 정의하고 보기 ㄱ~ㄷ의 참·거짓을 판별하는 문제입니다. 정답은 ③ ㄱ, ㄷ입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
ᵃ√b가 실수이려면 a의 홀짝에 따라 다음 조건이 필요합니다.
· a = 2 (짝수): b ≥ 0이어야 실수. B에서 b = 0, 1, 2 → 3가지
· a = 3 (홀수): b 모든 값 가능. B에서 b = −3, −2, 0, 1, 2 → 5가지
· a = 4 (짝수): b ≥ 0이어야 실수. B에서 b = 0, 1, 2 → 3가지
a=2: (2,0), (2,1), (2,2) → 3개
a=3: (3,−3), (3,−2), (3,0), (3,1), (3,2) → 5개
a=4: (4,0), (4,1), (4,2) → 3개
전체 n(S) = 3 + 5 + 3 = 11
(3, −3)∈S인지 확인합니다. a=3(홀수)이므로 ³√(−3)은 실수입니다. 따라서 (3, −3)∈S → 참입니다.
b ≠ 0일 때 (a, b)∈S이고 (a, −b)∈S를 동시에 만족하려면 ᵃ√b와 ᵃ√(−b)가 모두 실수이어야 합니다. 이는 a가 홀수(a=3)이어야 가능합니다. a=3은 1개이므로 a의 개수는 1개입니다. “2이다”는 거짓입니다.
STEP B에서 n(S) = 3 + 5 + 3 = 11 → 참입니다.
∴ 옳은 것은 ㄱ, ㄷ → 정답: ③
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① ᵃ√b에서 a가 짝수일 때 b=0을 빠뜨리는 경우. b=0이면 ᵃ√0=0으로 실수이므로 반드시 포함해야 합니다.
실수 ② ㄴ에서 “b≠0일 때 (a,b)와 (a,−b) 모두 S에 속하는” 조건의 의미를 잘못 파악해 a=2, 4도 포함하려는 경우. 짝수 a는 음수 b를 허용하지 않으므로 해당 사항이 없습니다.
실수 ③ n(S) 계산 시 중복 원소를 세거나 (a,0)을 각 a에 대해 1번씩이 아닌 한 번만 세는 경우. (2,0), (3,0), (4,0)은 a값이 다르므로 서로 다른 원소입니다.
💡 꿀팁 – 집합 S 유형 풀이의 핵심 흐름
이 유형은 먼저 a의 각 값에 대해 허용되는 b의 집합을 표로 정리하는 것이 최고의 전략입니다. a가 홀수면 b 전체 허용, a가 짝수면 b ≥ 0만 허용이라는 규칙을 머릿속 표로 고정해 두면 n(S) 계산과 보기 판별이 동시에 빠르게 처리됩니다. 특히 ㄴ처럼 “b와 −b를 동시에 포함”하는 조건은 a가 홀수인지 먼저 확인하는 것이 핵심입니다.