📌 n이 커질수록 n−5의 부호가 바뀌는 구간을 정확히 찾는 것이 핵심입니다!
이 문제는 f(n)을 n에 따라 구간별로 정의한 뒤, 누적합이 13이 되는 자연수 k를 찾는 TOUGH 등급 유형입니다. n−5의 부호는 n = 5를 기준으로 바뀌고, n의 홀짝에 따라 실수인 n제곱근의 개수도 달라집니다. n의 크기와 홀짝을 동시에 고려하는 이중 분류가 이 문제의 핵심입니다. f(2)부터 차례로 더해가며 합이 13이 되는 k를 찾으면 됩니다. 정답은 ④ 12입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 7번 · TOUGH)
2 이상의 자연수 n에 대하여 n−5의 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 f(n)이라 할 때, f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(k)=13을 만족하는 자연수 k의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ④ 12입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
n이 홀수이면 n−5의 부호에 관계없이 실수인 n제곱근은 항상 1개입니다.
따라서 n = 3, 5, 7, 9, 11, … 일 때 f(n) = 1입니다.
n이 짝수일 때는 n−5의 부호가 중요합니다.
· 2 ≤ n ≤ 4 (짝수): n−5 < 0 → 음수의 짝수 제곱근 → 실수 0개 → f(n) = 0
· n = 6 이상 (짝수): n−5 > 0 → 양수의 짝수 제곱근 → 실수 2개 → f(n) = 2
(n = 6일 때 n−5 = 1 > 0이므로 짝수 제곱근 2개)
n = 2: f(2) = 0 | n = 3: f(3) = 1 | n = 4: f(4) = 0 | n = 5: f(5) = 1
n = 6: f(6) = 2 | n = 7: f(7) = 1 | n = 8: f(8) = 2 | n = 9: f(9) = 1
n = 10: f(10) = 2 | n = 11: f(11) = 1 | n = 12: f(12) = 2
f(2)+f(3) = 0+1 = 1
+f(4)+f(5) = +0+1 → 누적 2
+f(6)+f(7) = +2+1 → 누적 5
+f(8)+f(9) = +2+1 → 누적 8
+f(10)+f(11) = +2+1 → 누적 11
+f(12) = +2 → 누적 13 ✓
따라서 k = 12
∴ k = 12 → 정답: ④
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① n = 5일 때 n−5 = 0이므로 f(5) = 0으로 처리하는 경우. n = 5는 홀수이므로 0의 홀수 제곱근은 0 하나 → f(5) = 1입니다.
실수 ② n = 4일 때 n−5 = −1 < 0인데 f(4) = 2로 잘못 적용하는 경우. 짝수 n에서 음수의 제곱근은 실수가 없으므로 f(4) = 0입니다.
실수 ③ 누적합 계산 중 한 항을 빠뜨리거나 중복 더하는 산술 실수. f(n) 값을 표로 정리한 뒤 순서대로 더하는 습관이 중요합니다.
💡 꿀팁 – f(n) 표 작성 후 2항씩 묶는 전략
n ≥ 6 구간에서 짝수 n은 f = 2, 홀수 n은 f = 1이 반복됩니다. 따라서 n = 6부터 2항씩 묶으면 (2+1) = 3씩 증가합니다. 목표 누적합 13에서 f(2)~f(5) 구간 합 2를 먼저 빼면 남은 합은 11이고, n = 6부터 3씩 더해 11이 되는 지점을 찾으면 됩니다. 6~7: 3, 6~9: 6, 6~11: 9, 6~12: 11+2=11 → k=12. 이처럼 구간을 블록으로 묶어 계산하면 속도가 크게 빨라집니다.