📌 n이 홀수냐 짝수냐에 따라 aₙ이 완전히 달라집니다 — 패턴을 찾으셨나요?
이 문제는 (-5)^(n-1)의 n제곱근 중 실수인 것의 개수 aₙ을 구한 뒤, a₃부터 a₁₀₀까지의 합을 계산하는 NORMAL 난이도 내신 유형입니다. 핵심은 n의 홀짝에 따라 지수 n−1의 홀짝이 바뀌고, 그에 따라 밑 (-5)^(n-1)의 부호가 달라진다는 점입니다. n이 홀수일 때와 짝수일 때 aₙ 값을 각각 구한 뒤 구간 합으로 빠르게 처리하는 것이 풀이 전략입니다. 정답은 ④ 49입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 5번 · 최다빈출 왕중요 · NORMAL)
2보다 큰 자연수 n에 대하여 (-5)^(n-1)의 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 aₙ이라 할 때, a₃ + a₄ + a₅ + ⋯ + a₁₀₀의 값을 구하는 문제입니다. n이 홀수/짝수일 때 (-5)^(n-1)의 부호가 어떻게 달라지는지 분석하는 것이 핵심입니다. 정답은 ④ 49입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
n이 홀수이면 n−1은 짝수입니다.
짝수 지수이므로 (-5)^(n-1) = 5^(n-1) > 0 (양수)입니다.
양수의 n제곱근(n 홀수) → 실수인 것은 1개.
따라서 n이 홀수일 때 aₙ = 1입니다. (a₃ = a₅ = a₇ = … = 1)
n이 짝수이면 n−1은 홀수입니다.
홀수 지수이므로 (-5)^(n-1) = −(5^(n-1)) < 0 (음수)입니다.
음수의 n제곱근(n 짝수) → 실수인 것은 0개.
따라서 n이 짝수일 때 aₙ = 0입니다. (a₄ = a₆ = a₈ = … = 0)
3부터 100까지 총 98개의 항을 홀수 항과 짝수 항으로 분리합니다.
· 홀수 n: 3, 5, 7, …, 99 → 49개 항, 각 aₙ = 1 → 합 = 49
· 짝수 n: 4, 6, 8, …, 100 → 49개 항, 각 aₙ = 0 → 합 = 0
전체 합 = 49 + 0 = 49
∴ a₃ + a₄ + ⋯ + a₁₀₀ = 49 → 정답: ④
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (-5)^(n-1)에서 n의 홀짝이 아닌 n−1의 홀짝을 봐야 한다는 점을 놓치는 경우. 지수가 n이 아닌 n−1이므로 n이 홀수면 지수가 짝수, n이 짝수면 지수가 홀수임을 반드시 확인해야 합니다.
실수 ② 3부터 100까지 홀수 항의 개수를 50개로 잘못 세는 경우. 3, 5, …, 99는 (99−3)/2 + 1 = 49개임을 확인하세요.
실수 ③ 짝수 n일 때 aₙ = 0이 아닌 aₙ = 2로 잘못 적용하는 경우. 음수의 짝수 제곱근은 실수 범위에서 0개입니다.
💡 꿀팁 – 이 유형의 합산 속도를 높이는 법
aₙ 패턴이 (1, 0, 1, 0, …)처럼 반복되는 구조임을 파악하면, 전체 합 = (홀수 항 개수) × 1 + (짝수 항 개수) × 0으로 바로 계산됩니다. 수열 합 문제에서 홀수 인덱스 항의 개수를 셀 때는 “마지막 홀수 − 첫 홀수) ÷ 2 + 1” 공식을 활용하면 빠릅니다. 이 문제처럼 n=3~100 구간에서 홀수만 세면 (99−3)/2 + 1 = 49개로 즉시 처리할 수 있습니다.