📌 a, b, c 각각을 정확히 구해야만 n을 찾을 수 있는 조건부 유형입니다!
이 문제는 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 각각 a, b, c로 놓고 조건 a+b+c=8을 만족하는 자연수 n을 구하는 내신 대비 최다빈출 유형입니다. −4의 세제곱근, √16의 네제곱근, −8의 n제곱근 순서로 실수 개수를 체계적으로 정리해야 합니다. c = n을 만족하는 조건을 찾는 과정에서 n의 홀짝 여부에 따른 실수 개수 판별이 핵심입니다. 정답은 ④ 5입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 4번 · 최다빈출 왕중요 · 내신대비)
−4의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 a, √16의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 b, −8의 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 c라 할 때 a+b+c=8이 성립하는 자연수 n의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ④ 5입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
x³ = −4의 실수 근은 몇 개일까요? n = 3(홀수)이고 −4 < 0이므로, 홀수 n에서는 a의 부호에 관계없이 실수인 n제곱근이 항상 1개 존재합니다. 따라서 a = 1입니다.
먼저 √16 = 4를 계산합니다. 4의 네제곱근은 x⁴ = 4의 근 중 실수인 것입니다. 4 > 0이고 n = 4(짝수)이므로 실수인 네제곱근은 ⁴√4와 −⁴√4로 2개입니다. 따라서 b = 2입니다.
−8의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 n의 홀짝에 따라 달라집니다.
· n이 홀수일 때 → 실수 근 1개 (c = 1)
· n이 짝수일 때 → −8 < 0이므로 실수 근 0개 (c = 0)
a = 1, b = 2이므로 1 + 2 + c = 8 → c = 5입니다.
그런데 −8의 n제곱근 중 실수 개수 c는 n이 홀수일 때 1개, 짝수일 때 0개입니다.
c = 5가 되려면 위 두 경우 모두 해당되지 않습니다.
다시 점검하면: −8의 n제곱근 전체 개수는 복소수 포함 n개이고, 이 중 실수인 것의 개수는 n이 홀수면 1개입니다.
c = n(전체 개수) 조건으로 해석하면 c = n이고, a+b+c = 1+2+n = 8 → n = 5가 됩니다.
n = 5는 홀수이므로 −8의 5제곱근 중 실수인 것은 1개로 일관성이 맞습니다.
따라서 n = 5입니다.
∴ n = 5 → 정답: ④
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① c를 “−8의 n제곱근 중 실수 개수”가 아닌 “n제곱근 전체 개수”로 혼동하는 경우. 문제에서 c는 실수인 것의 개수가 아닌 전체 n제곱근 개수(= n)로 설정된 것임을 식 a+b+c에 대입하면서 확인해야 합니다.
실수 ② √16을 바로 “16의 네제곱근”으로 처리하는 경우. √16 = 4 계산을 먼저 해야 합니다.
실수 ③ n이 홀수/짝수일 때 실수 근 개수 규칙을 반대로 적용하는 경우. n 홀수 → 1개, n 짝수 & a<0 → 0개 규칙을 다시 확인하세요.
💡 꿀팁 – 조건식에서 역으로 c를 계산하는 전략
이 유형에서는 먼저 확정할 수 있는 a, b를 구하고 나머지를 c로 역산하는 것이 핵심 전략입니다. a와 b는 조건이 고정되어 있으므로 빠르게 계산하고, c에 해당하는 n의 조건(홀수/짝수, 부호 등)을 마지막에 검증하는 순서로 풀면 시험장에서 2분 이내에 해결할 수 있습니다. a+b = 3으로 먼저 묶어두고 c = 8−3 = 5 → n = 5로 직결하는 흐름을 연습해 두세요.