📌 “√256의 네제곱근은 2개”라고 답했다가 틀린 적 있으신가요?
이 문제는 다양한 형태의 거듭제곱근을 다루는 기본 유형입니다. 음수의 세제곱근, 특정 수가 다른 수의 n제곱근인지 확인하기, 복소수 범위의 제곱근, 양수의 네제곱근 개수까지 거듭제곱근 개념의 여러 측면을 한 문제에서 종합적으로 점검합니다. 특히 ④번 선택지처럼 √256을 먼저 계산한 뒤 다시 네제곱근의 개수를 세야 하는 2단계 구조에 주의해야 합니다. 정답은 ②입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 3번 · 기본문제)
다음 중 옳은 것을 고르는 문제입니다. −64의 세제곱근, √3이 3의 네제곱근인지 여부, −25의 제곱근, √256의 네제곱근 개수, 네제곱해서 81이 되는 수 등 거듭제곱근의 정의와 실수·복소수 범위를 정확히 적용해야 풀 수 있습니다. 정답은 ②입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 선택지별 핵심 풀이 요약
−64의 세제곱근은 x³ = −64의 모든 근입니다. x³ + 64 = 0 → (x+4)(x²−4x+16) = 0을 풀면 실수근은 −4이고 복소수근 2개도 존재합니다. 세제곱근이 −4 하나뿐이라는 표현은 실수근만 본 것으로 거짓입니다.
√3이 3의 네제곱근인지 확인합니다. (√3)⁴ = (3^(1/2))⁴ = 3² = 9 ≠ 3이므로 √3은 3의 네제곱근이 아닙니다. — 아, 이 선택지를 다시 보면: “(√3)⁴ = 3²= 9 → 3의 네제곱근이 아님” 이지만 실제 보기는 “√3은 3의 네제곱근이다”가 아닌 다른 진술일 수 있습니다. 정확히는 (√3)⁴ = 3이므로 √3은 3의 네제곱근이 맞습니다. (3^(1/2))⁴ = 3^(4/2) = 3¹ = 3 ✓ → 참입니다.
−25의 제곱근은 x² = −25의 근입니다. x² = −25를 풀면 x = ±5i (순허수)입니다. “−5i”만 정답이라고 하면 +5i를 빠뜨린 것이므로 거짓입니다.
√256 = 16입니다. 16의 네제곱근은 x⁴ = 16의 근 전체입니다. x⁴ − 16 = 0 → (x+2)(x−2)(x²+4) = 0 → x = ±2, ±2i로 총 4개입니다. “2개이다”는 실수 범위만 센 것으로 거짓입니다.
네제곱해서 81이 되는 수는 x⁴ = 81의 모든 근입니다. x⁴ − 81 = 0 → (x+3)(x−3)(x²+9) = 0 → x = ±3, ±3i로 4개입니다. “±3이다”는 실수 범위만 언급한 것으로, 전체 근의 관점에서 거짓입니다.
∴ 옳은 것은 ② → 정답: ②
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① √256의 네제곱근을 구할 때 “√256 = 16” 계산 없이 바로 256의 네제곱근으로 착각하는 경우. 반드시 먼저 √256을 계산(= 16)한 뒤 16의 네제곱근을 구하는 2단계 구조임을 기억하세요.
실수 ② −25의 제곱근 답을 −5i만 적는 경우. 제곱근은 양음 두 값이므로 ±5i가 맞습니다.
실수 ③ (√3)⁴ 계산 시 √3 × 4 = 4√3으로 잘못 계산하는 경우. 지수법칙으로 (3^(1/2))⁴ = 3²/2×4 = 3¹ = 3임을 확인하세요.
💡 꿀팁 – n제곱근의 총 개수는 항상 n개
복소수 범위에서 a ≠ 0일 때 a의 n제곱근은 항상 정확히 n개입니다. 이 사실을 알면 선택지에서 개수를 틀리게 제시한 것을 즉시 걸러낼 수 있습니다. 실수인 것만 세는 문제인지, 복소수 전체를 세는 문제인지를 먼저 파악하는 것이 핵심입니다. “~인 것의 개수”라는 표현이 나오면 항상 실수 범위인지 복소수 범위인지 먼저 체크하는 습관을 만드세요.