⭐ 핵심만정리

지수함수 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)는 우리가 잘 아는 지수법칙 덕분에 아주 특별하고 재미있는 성질들을 가져요! (단, p, q, n은 실수예요!)

• ① 기본값 확인!: f(0) = 1, f(1) = a
• ② 지수의 합은 함수값의 곱으로!: f(p + q) = f(p) × f(q) (즉, a^p+q = a^pa^q)
• ③ 지수의 차는 함수값의 나눗셈으로!: f(p – q) = f(p)f(q) (즉, a^p-q = a^p/a^q)
• ④ 지수의 곱은 함수값의 거듭제곱으로!: f(np) = (f(p))ⁿ (즉, a^np = (a^p)ⁿ)

이 성질들은 지수함수 관련 문제를 풀 때 아주 유용하게 사용된답니다! 마치 비밀 열쇠 같아요! 🗝️

📚 개념정리

안녕, 지수함수 탐험가 친구들! 🚀 지수함수 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)는 그 자체로도 흥미롭지만, 우리가 이미 잘 알고 있는 ‘지수법칙’과 만나면 더욱 특별한 성질들을 보여준답니다. 이 성질들을 알면 지수함수의 함수값을 다루는 것이 훨씬 쉬워질 거예요! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 😊 (여기서 p, q, n은 모두 실수라고 생각할게요!)

지수함수 f(x) = a^x의 특별한 성질들! ✨

이 성질들은 모두 기본적인 지수법칙에서 나온다는 것을 기억하면 이해하기 쉬워요!

1. f(0) = 1 그리고 f(1) = a

가장 기본적인 값부터 확인해 볼까요?

• f(0) = a⁰ = 1 (0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이니까요!)
• f(1) = a¹ = a (어떤 수의 1제곱은 자기 자신이므로!)

지수함수 그래프가 항상 점 (0,1)을 지나고, 점 (1,a)를 지난다는 사실과 연결되죠?

2. f(p + q) = f(p) × f(q) : 지수의 합이 함수값의 곱으로!

지수 자리에 두 수의 합 p+q가 들어가면, 각각의 함수값 f(p)와 f(q)를 곱한 것과 같아져요!

왜냐하면, f(p+q) = a^p+q 이죠. 지수법칙에 의해 a^p+q = a^p × a^q 잖아요?
그리고 f(p) = a^p, f(q) = a^q 이므로, 결국 f(p+q) = f(p)f(q)가 된답니다!

3. f(p – q) = f(p) / f(q) : 지수의 차가 함수값의 나눗셈으로!

이번에는 지수 자리에 두 수의 차 p-q가 들어가면, 각각의 함수값 f(p)를 f(q)로 나눈 것과 같아져요!

이것도 지수법칙 a^p-q = a^p ÷ a^q = a^p / a^q를 이용하면 금방 이해할 수 있어요.
f(p-q) = a^p-q = a^p / a^q = f(p) / f(q) 랍니다!

4. f(np) = (f(p))ⁿ : 지수의 곱이 함수값의 거듭제곱으로!

지수 자리에 어떤 수 n과 p의 곱 np가 들어가면, f(p)라는 함수값 전체를 n제곱한 것과 같아져요!

지수법칙 a^np = (a^p)ⁿ을 생각하면 바로 이해가 되죠?
f(np) = a^np = (a^p)ⁿ = (f(p))ⁿ 이랍니다!

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✅ 개념확인

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💡 참고