쎈 공통수학1 632번 📝 서술형 | 조건+제한 범위에서 최대·최소의 합 구하기
서술형 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 b=(a-3)/2 대입 → 제한 범위 끝점에서 최대·최소 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 꼭짓점 a=3/2가 범위 [-2,1] 밖 → 끝점에서 최대·최소 발생
- 📊 a=-2, a=1 끝점 함수값 비교표
- ✍️ 서술형 5단계 답안 가이드
- ⏱ 서술형 목표 풀이 시간
🌟 핵심: a-2b=3 → b=(a-3)/2로 대입 → ab를 a만의 식으로 변환
꼭짓점 a=3/2가 범위 밖이므로 끝점에서 최대·최소! 📱 충전기 연결 후 도전!
📊🔍
꼭짓점이 구간 밖 → 끝점 비교!
꼭짓점 a=3/2 > 1 → 범위 [-2,1] 밖 → a=-2, a=1에서만 비교
꼭짓점이 구간 밖 → 끝점 비교!
꼭짓점 a=3/2 > 1 → 범위 [-2,1] 밖 → a=-2, a=1에서만 비교
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
실수 a, b에 대해 \(-2 \leq a \leq 1\)이고 \(a-2b=3\)일 때, ab의 최댓값과 최솟값의 합을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 조건: a-2b=3 → \(b=\dfrac{a-3}{2}\)
- 목적식: \(ab=a \cdot \dfrac{a-3}{2}=\dfrac{a^2-3a}{2}\) → a의 이차함수
- 범위: -2≤a≤1에서 최대·최소 탐색
🗝️ 꼭짓점 위치 판단
\(ab=\dfrac{1}{2}(a-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{8}\) → 꼭짓점 a=3/2 > 1 (범위 밖)
→ 범위 [-2,1]에서 단조 감소 → a=-2에서 최댓값, a=1에서 최솟값
\(ab=\dfrac{1}{2}(a-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{8}\) → 꼭짓점 a=3/2 > 1 (범위 밖)
→ 범위 [-2,1]에서 단조 감소 → a=-2에서 최댓값, a=1에서 최솟값
✍️ 서술형 답안 구조 (5단계)
① b=(a-3)/2 변환 명시
② ab=a(a-3)/2 전개
③ 완전제곱식 변환, 꼭짓점 a=3/2 확인
④ 꼭짓점이 범위 밖 → 끝점 함수값 비교
⑤ 최댓값+최솟값 계산
① b=(a-3)/2 변환 명시
② ab=a(a-3)/2 전개
③ 완전제곱식 변환, 꼭짓점 a=3/2 확인
④ 꼭짓점이 범위 밖 → 끝점 함수값 비교
⑤ 최댓값+최솟값 계산
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. b=(a-3)/2이므로 ab=a(a-3)/2=(a²-3a)/2
힌트 2. \(\frac{1}{2}(a-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{8}\). 꼭짓점 a=3/2가 범위 [-2,1] 안에 있나요?
힌트 3. 3/2>1이므로 범위 밖! → 끝점 a=-2, a=1에서 함수값을 각각 계산하세요.
🧠 핵심 풀이
1 조건 대입 및 ab 표현
\(b=\dfrac{a-3}{2}\), \(ab=\dfrac{a(a-3)}{2}=\dfrac{a^2-3a}{2}=\dfrac{1}{2}\!\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{8}\)
\(b=\dfrac{a-3}{2}\), \(ab=\dfrac{a(a-3)}{2}=\dfrac{a^2-3a}{2}=\dfrac{1}{2}\!\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{8}\)
2 꼭짓점 위치 확인 및 끝점 비교
꼭짓점 a=3/2 > 1 → 범위 밖 → 구간에서 단조감소
꼭짓점 a=3/2 > 1 → 범위 밖 → 구간에서 단조감소
| a | b=(a-3)/2 | ab |
|---|---|---|
| a=-2 | b=-5/2 | \((-2)(-5/2)=\mathbf{5}\) → 최댓값 |
| a=1 | b=-1 | \((1)(-1)=\mathbf{-1}\) → 최솟값 |
3 최댓값 + 최솟값
\(5+(-1)=\boxed{4} \quad 🎯\)
\(5+(-1)=\boxed{4} \quad 🎯\)
📋→📊→🎯
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 꼭짓점 a=3/2가 범위 밖임을 확인하지 않고 꼭짓점에서 최솟값이 발생한다고 가정
❌ 실수 2: 꼭짓점이 범위 오른쪽 밖 → 단조감소 → 왼쪽 끝(a=-2)이 최댓값임을 역산하지 못하는 실수
❌ 서술형 감점: 꼭짓점 위치 확인 과정 미서술
📌 외워두면 득점하는 패턴
조건+제한 범위 최대·최소 패턴
- 조건 → 한 변수 소거 → 일변수 이차함수로 변환
- 꼭짓점 위치 vs 제한 범위 비교
- 범위 안: 꼭짓점+양 끝점 3곳 비교 / 범위 밖: 끝점 2곳만 비교
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 서술형: 목표 5분
→ 5단계 답안. 꼭짓점 위치 확인 서술 필수!
📝 수능 유사 유형: 목표 2분 30초
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 조건+제한 범위 최대+최솟값 합 심화 서술형 마플시너지 공수1 | 이변수 조건부 최대·최소 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 52번 → 조건 대입법 기초
- 631번 포스트 → 조건 대입 기본 유형 비교
- 마플시너지 → 조건+범위 복합 심화