쎈 공통수학1 621번 📐 반무한 구간에서 이차함수의 최댓값 조건
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 k<3, k≥3 두 경우 분류 완전 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “위로 볼록 + x≥3 반무한 구간” → 꼭짓점 위치로 경우 분류
- 💡 k=4가 k<3 조건에 모순 → k=√15만 성립하는 과정
- ⚠️ k=−√15를 포함하는 흔한 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심: 위로 볼록 함수에서 x≥3의 최댓값은 꼭짓점이 x≥3 안에 있으면 꼭짓점에서, 밖에 있으면 x=3에서 발생합니다!
📱 충전기 연결 후 꼭짓점 x=k의 위치를 먼저 파악해보세요.
🔀📐
위로 볼록 + 반무한 구간 x≥3 경우 분류 기준:
꼭짓점 x=k < 3 → 최댓값이 x=3에서 발생
꼭짓점 x=k ≥ 3 → 최댓값이 꼭짓점에서 발생
위로 볼록 + 반무한 구간 x≥3 경우 분류 기준:
꼭짓점 x=k < 3 → 최댓값이 x=3에서 발생
꼭짓점 x=k ≥ 3 → 최댓값이 꼭짓점에서 발생
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(x \geq 3\)에서 이차함수 \(y=-x^2+2kx\)의 최댓값이 15일 때, 실수 k의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- \(y=-(x-k)^2+k^2\) → 꼭짓점 \((k,\ k^2)\), 위로 볼록
- x≥3이므로 꼭짓점 x=k가 구간 안/밖에 있는지에 따라 최댓값 위치가 다름
- k의 범위로 경우 분류!
🗝️ 위로 볼록 + 반무한 구간에서 최댓값 원리
위로 볼록(a<0) 함수에서 최댓값은 꼭짓점(있으면)에서 발생합니다.
• 꼭짓점이 구간 안(k≥3) → 최댓값 = 꼭짓점의 y좌표 = k²
• 꼭짓점이 구간 밖(k<3) → 구간에서 단조 감소 → 최댓값 = f(3)
위로 볼록(a<0) 함수에서 최댓값은 꼭짓점(있으면)에서 발생합니다.
• 꼭짓점이 구간 안(k≥3) → 최댓값 = 꼭짓점의 y좌표 = k²
• 꼭짓점이 구간 밖(k<3) → 구간에서 단조 감소 → 최댓값 = f(3)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(y=-(x-k)^2+k^2\). 경우 분류: k<3일 때와 k≥3일 때
힌트 2. k<3이면 x=3에서 최댓값 → \(f(3)=-9+6k=15\) → k=4인데 k<3 조건에 모순!
힌트 3. k≥3이면 x=k에서 최댓값 → \(k^2=15\) → k=? (k≥3 조건 확인!)
🧠 핵심 풀이 | 경우 분류
1 함수 변환
\(y=-x^2+2kx=-(x-k)^2+k^2\)
꼭짓점: \((k,\ k^2)\), 위로 볼록 → 꼭짓점에서 최댓값
\(y=-x^2+2kx=-(x-k)^2+k^2\)
꼭짓점: \((k,\ k^2)\), 위로 볼록 → 꼭짓점에서 최댓값
📕 경우 1: k < 3 (꼭짓점이 구간 왼쪽 밖)
x≥3에서 단조 감소 → x=3에서 최댓값
\(f(3)=-9+6k=15 \Rightarrow k=4\)
그런데 k=4는 k<3 조건에 모순! → 이 경우 불가
x≥3에서 단조 감소 → x=3에서 최댓값
\(f(3)=-9+6k=15 \Rightarrow k=4\)
그런데 k=4는 k<3 조건에 모순! → 이 경우 불가
📗 경우 2: k ≥ 3 (꼭짓점이 구간 안)
x=k에서 최댓값 = \(k^2=15\)
\(k=\sqrt{15}\) 또는 \(k=-\sqrt{15}\)
k≥3 조건 확인: \(\sqrt{15}\approx 3.87 \geq 3\) ✓, \(-\sqrt{15}<3\) ✗
∴ \(k=\boxed{\sqrt{15}} \quad 🎯\)
x=k에서 최댓값 = \(k^2=15\)
\(k=\sqrt{15}\) 또는 \(k=-\sqrt{15}\)
k≥3 조건 확인: \(\sqrt{15}\approx 3.87 \geq 3\) ✓, \(-\sqrt{15}<3\) ✗
∴ \(k=\boxed{\sqrt{15}} \quad 🎯\)
🔀→❌→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 경우 분류 없이 k²=15로 바로 계산 → 경우 1에서 k=4도 확인해야 함!
❌ 실수 2: k²=15에서 k=±√15 두 값을 모두 답으로 제시 → k≥3 조건에서 k=-√15는 탈락!
❌ 실수 3: √15가 3보다 큰지 확인하지 않기 → √15=√15≈3.87 > 3 확인 필수!
📌 외워두면 득점하는 패턴
반무한 구간 + 경우 분류 패턴
- 위로 볼록(a<0) + x≥c: 꼭짓점 x=p를 c와 비교
- p<c → 구간에서 단조감소 → x=c에서 최댓값
- p≥c → 꼭짓점에서 최댓값
- 경우 1에서 모순 나와도 당황하지 말고 경우 2로 진행!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ 경우 분류 → 경우 1 모순 확인 → 경우 2 k=√15 → 조건 검증
📝 수능 시험: 목표 2분
→ 경우 분류 즉시 처리, 모순 빠르게 판단, 조건 검증 자동화
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 반무한 구간 이차함수 최대·최소 경우 분류 마플시너지 공수1 | 미지수 k 경우 분류 + 모순 검증 심화
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 40번 → 제한 범위 기초
- 618번 포스트 → 경우 분류 기본 유형 완벽 이해
- 마플시너지 → 반무한 구간 + 경우 분류 심화 유형