쎈 공통수학1 619번 📐 제한 범위·정수 조건에서 이차함수 계수 결정
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
- 🎬 꼭짓점 위치 분석 + 정수 a 조건 처리 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 꼭짓점 x=-a가 구간 [-2,-1] 오른쪽 밖 → x=-1에서 최솟값
- 💡 a, b 부등식 조건을 동시에 만족하는 정수 탐색
- ⚠️ a<b<0 조건에서 정수 범위를 잘못 설정하는 실수
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
💡 이 문제는 최솟값 조건 → b=2a+3 관계식 → a, b의 부등식 조건 → 정수 a 탐색 순서로 풀립니다!
📱 충전기 연결 후 꼭짓점 위치를 먼저 파악해보세요.
전략: 꼭짓점 (-a, -a²+b), [-2,-1]에서 꼭짓점이 오른쪽 밖이면
x=-1이 꼭짓점에 가장 가까운 점 → x=-1에서 최솟값 발생
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(-2 \leq x \leq -1\)에서 \(f(x)=x^2+2ax+b\)의 최솟값이 4일 때, a < b < 0인 정수 a, b에 대해 ab를 구합니다.
📋 조건 정리:
- \(f(x)=(x+a)^2-a^2+b\) → 꼭짓점 x=-a
- 꼭짓점 x=-a > -1 (즉 a < 1) → 구간 [-2,-1]의 오른쪽 밖
- 구간 내에서 단조감소 → x=-1에서 최솟값 = \(1-2a+b=4\) → \(b=2a+3\)
- 추가 조건: a < b < 0 → 정수 a 범위 결정
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(f(-1)=1-2a+b=4 \Rightarrow b=2a+3\)
힌트 2. b < 0 조건: \(2a+3 < 0 \Rightarrow a < -\dfrac{3}{2}\)
힌트 3. a < b 조건: \(a < 2a+3 \Rightarrow -3 < a\). 따라서 \(-3 < a < -\dfrac{3}{2}\)인 정수 a는?
🧠 핵심 풀이
\(f(x)=(x+a)^2-a^2+b\), 꼭짓점 x=-a > -1 (a<1)
구간 [-2,-1]에서 단조 감소 → x=-1에서 최솟값:
\(f(-1)=1-2a+b=4 \Rightarrow b=2a+3 \cdots ①\)
① b < 0: \(2a+3 < 0 \Rightarrow a < -\dfrac{3}{2}\)
② a < b: \(a < 2a+3 \Rightarrow a > -3\)
종합: \(-3 < a < -\dfrac{3}{2}\) → 정수 a = -2
a=-2일 때: \(b=2(-2)+3=-1\)
확인: a=-2, b=-1이면 a < b < 0 ✓
$$ab = (-2)(-1) = \boxed{2} \quad 🎯$$
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 꼭짓점이 [-2,-1]의 어느 쪽 밖에 있는지 분석하지 않고 풀기
→ a<b<0이므로 a는 음수 → 꼭짓점 x=-a는 양수 → 구간 오른쪽 밖이 맞음
❌ 실수 2: \(-3 < a < -\dfrac{3}{2}\)에서 정수 a를 -1 또는 -3으로 잘못 선택
→ 이 범위의 정수는 -2 하나뿐! (-3은 포함 안 됨, 개구간)
❌ 실수 3: a=-2, b=-1에서 a < b < 0 확인 건너뛰기 → 반드시 검증!
📌 외워두면 득점하는 패턴
정수 조건 + 부등식 범위 교점 패턴
- 부등식에서 a의 범위(열린 구간) 결정
- 범위 내의 정수를 나열해서 조건 확인
- 나열 결과가 하나이면 바로 확정, 여러 개면 추가 조건 적용
- 계산 후 반드시 원래 조건(a<b<0) 검증!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분 30초
→ 꼭짓점 분석 → 최솟값 방정식 → 부등식 범위 → 정수 확정 → 검증
📝 수능 시험: 목표 2분 30초
→ 꼭짓점 위치 빠르게 판단 후 흐름대로 처리
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 정수 a, b 조건 + 범위 교점 심화 유형 마플시너지 공수1 | 꼭짓점 구간 밖 최솟값 조건 복합 유형- 연산 워크시트 40·42번 → 제한/가변 범위 기초 반복
- 618번 포스트 → 경우 분류 유형 먼저 완벽히 익히기
- 마플시너지 → 정수 조건 + 범위 복합 심화 유형