쎈 공통수학1 613번 📝 서술형 | 이차함수의 최댓값 조건에서 계수 결정
서술형 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
- 🎬 꼭짓점 형태로 f(x) 설정 후 a, b, c 결정하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “x=1에서 최댓값 1” → 꼭짓점 (1, 1) + a < 0 두 조건
- 💡 2a+b+c를 따로 계산하지 않고 f(2) 또는 전개식으로 빠르게 구하기
- ✍️ 서술형 단계별 답안 작성 가이드
- ⏱ 서술형·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심 포인트: “x=p에서 최댓값/최솟값 q” → \(f(x)=a(x-p)^2+q\)로 즉시 설정!
충전기 연결 후 a를 먼저 결정해보세요 📱
“x=p에서 최댓값/최솟값 q” → 꼭짓점 형태 즉시 설정!
\(f(x) = a(x-p)^2 + q\) (단, 최댓값이면 a<0, 최솟값이면 a>0)
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(f(x)=ax^2+bx+c\)가 \(x=1\)에서 최댓값 1을 갖고 \(f(-1)=-7\)일 때, \(2a+b+c\)의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- “x=1에서 최댓값 1” → 꼭짓점이 (1, 1)이고 최댓값이므로 a < 0
- \(f(x)=a(x-1)^2+1\)로 설정
- \(f(-1)=-7\)을 대입해 a 결정
- 전개 후 b, c 계산 → 2a+b+c 계산 (또는 f(2) 활용 빠른 계산)
\(f(x)=ax^2+bx+c\)에서 \(f(2)=4a+2b+c\)이므로:
\(2a+b+c = f(2) – (2a+b)\) → 전개 후 계산
또는: \(2a+b+c\)는 \(f(x)\)의 전개식에서 \(a+b+c=f(1)\)과는 다르므로 주의!
💡 가장 안전한 방법: a, b, c를 모두 구한 후 대입
① x=1에서 최댓값 → 꼭짓점 (1, 1), a < 0
② \(f(x)=a(x-1)^2+1\) 설정
③ \(f(-1)=4a+1=-7\) → a 결정
④ f(x) 전개 → b, c 결정
⑤ 2a+b+c 계산
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. x=1에서 최댓값 1 → \(f(x)=a(x-1)^2+1\), 최댓값이므로 a < 0
힌트 2. \(f(-1)=a(-1-1)^2+1=4a+1=-7\) → a=?
힌트 3. \(f(x)=-2(x-1)^2+1=-2x^2+4x-1\) → a=-2, b=4, c=-1 → 2a+b+c=?
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
x=1에서 최댓값 1이므로 꼭짓점이 (1, 1), 위로 볼록 (a < 0): $$f(x) = a(x-1)^2 + 1$$
$$f(-1) = a(-1-1)^2+1 = 4a+1 = -7$$ $$4a = -8 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \quad (a<0 \text{ 확인 ✓})$$
$$f(x) = -2(x-1)^2+1 = -2(x^2-2x+1)+1$$ $$= -2x^2+4x-2+1 = -2x^2+4x-1$$ 따라서 \(a=-2,\; b=4,\; c=-1\)
$$2a+b+c = 2(-2)+4+(-1) = -4+4-1 = \boxed{-1} \quad 🎯$$
\(f(x)=ax^2+bx+c\)에서 \(x=1\): \(f(1)=a+b+c=1\) (최댓값)
그런데 우리가 구하는 건 \(2a+b+c\) = \(f(1)+(a) = 1+(-2) = -1\)이기도 합니다!
→ 검산에 활용하세요!
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: “x=1에서 최댓값”인데 a > 0으로 설정 (최솟값 조건으로 혼동)
→ 최댓값이면 위로 볼록 → a < 0 반드시 확인!
❌ 실수 2: f(-1)=a(-1-1)²+1에서 (-1-1)²=4임을 확인하지 않고 (-2)=−2로 계산
❌ 실수 3: 2a+b+c를 구해야 하는데 a+b+c=f(1)=1을 답으로 쓰기
→ 2a+b+c이므로 전개 후 직접 대입!
❌ 서술형 감점: a < 0 확인 미서술, 최댓값 조건에서 꼭짓점 형태 설정 근거 미서술
📌 외워두면 득점하는 패턴
꼭짓점 형태 설정 패턴
- “x=p에서 최댓값 q” → \(f(x)=a(x-p)^2+q\), a < 0
- “x=p에서 최솟값 q” → \(f(x)=a(x-p)^2+q\), a > 0
- 추가 조건 (f(특정값)) → a 결정 → 전개 → b, c 결정
- 마지막 계산: “~a+~b+~c”는 전개식으로 직접 대입이 가장 안전!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 서술형 시험: 목표 4분
→ 5단계 서술 작성. a < 0 확인 명시, 각 단계 근거 서술 → 부분점수 확보!
📝 수능 시험 (유사 유형): 목표 1분 30초
→ 꼭짓점 형태 설정 → a 결정 → f(x) 전개 → 2a+b+c 계산
💡 속도 향상: 꼭짓점 형태 설정을 자동 반사로 훈련!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 최대·최소 조건으로 이차함수 계수 결정 유형 마플시너지 공수1 | 꼭짓점 형태 서술형 완전 정복- 연산 워크시트 36·37번 → 꼭짓점 & 최대·최소 기초 반복
- 개념 포스트 (조건으로 이차함수 식 구하기) → 꼭짓점 형태 설정 원리
- 마플시너지 → 최대·최소 조건 계수 결정 서술형 심화